Olá, tudo bem?
Hoje, iremos resolver uma questão muito interessante que foi cobrada na prova da OMEG (Olimpíada de Matemática do Estado de Goiás). Vejamos como foi o enunciado da questão.
(OMEG-1995) Os códigos dos sócios de um clube são compostos por três algarismos, um traço e mais dois algarismos. Esses últimos obtidos a partir de operações do tipo mx + ny + pz, sendo x, y, z os três primeiros algarismos do código e m, n, p números naturais fixados.
Veja o exemplo de alguns códigos:
201 – 05; 010 – 02; 110 – 03; 341 – 14.
a) Determine a e b no código abaixo.
578 – ab.
b) Qual o maior número que pode aparecer após o traço?
c) Determine os algarismos x e y dos seguintes códigos:
x5y – 21 e 3yx – 29.
d) Quantos códigos pode ter o clube?
RESOLUÇÃO:
Vamos resolver essa questão passo a passo, com calma e atenção.
A fórmula usada para calcular os dois últimos algarismos do código é a seguinte:
mx + ny + pz
Onde:
· x, y e z são os três primeiros algarismos do código e;
· m, n e p são valores fixos que precisamos descobrir;
Vamos usar os exemplos de códigos dados pelo enunciado para calcular os valores de m, n e p:
201 – 05 → 2m + 0n + 1p = 5 (1ª equação)
010 – 02 → 0m + 1n + 0p = 2 (2ª equação)
110 – 03 → 1m + 1n + 0p = 3 (3ª equação)
341 – 14 → 3m + 4n + 1p = 14 (4ª equação)
Começamos pela equação (2):
n = 2
Substituímos na equação (3):
m + 2 = 3 → m = 1
Agora usamos esses valores na equação (1):
2 (1) + p = 5 → p = 3
Fórmula descoberta:
x + 2y + 3z
Vamos agora resolver as alternativas:
a) Determine a e b no código abaixo.
578 – ab
Aplicamos a fórmula com x = 5, y = 7, z = 8:
x + 2y + 3z = ab
1×5 + 2×7 + 3×8 = ab
5 + 14 + 24 = ab
ab = 43
Resposta: a = 4 e b = 3
b) Qual o maior número que pode aparecer após o traço?
Para obter o maior valor possível, usamos os maiores valores de x, y e z, que são 9:
1×9 + 2×9 + 3×9 = 9 + 18 + 27 = 54
Resposta: O maior número possível é 54.
c) Determine os algarismos x e y dos seguintes códigos:
Aqui, temos dois códigos diferentes, o que nos permitirá montar duas equações.
1º código: x5y – 21 → Aplicamos a fórmula x + 2y + 3z e achamos:
x+2⋅5+3y = 21
x+10+3y = 21
x+3y = 11 (1)
2º código: 3yx – 29 → Aplicamos a fórmula x + 2y + 3z e achamos:
1⋅3+2⋅y+3⋅x = 29
3+2y+3x = 29
3x+2y = 26 (2)
Temos um sistema de equações:
(1) x+3y=11
(2) 3x+2y=26
Primeiro, isolamos o x:
x = 11 – 3y
Em seguida, substituímos na equação (2):
3(11−3y)+2y=26
33−9y+2y=26
33−7y=26
−7y=−7
y = 1
E agora calculamos x:
x+3(1) = 11
x+3 = 11
x = 8
d) Quantos códigos pode ter o clube?
Os três primeiros algarismos podem ir de 000 a 999:
10 × 10 × 10 = 1000 possibilidades
...
E assim finalizamos a questão! Espero que tenham gostado. Essa questão envolvia álgebra, raciocínio lógico e até conceitos básicos de análise combinatória.
Abraços,
Ricardo Vale