O coeficiente de Gini mede a desigualdade de uma distribuição. Quando todos possuem o mesmo valor, ele é zero. Para calcular o índice desta turma, precisamos considerar como o dinheiro está distribuído entre todos os alunos, e não apenas quanto Riquinho possui.

Temos nove alunos com R$ 1,00 cada e um aluno com R$ 9,00. O dinheiro total da sala é:

$T=9\times1+9=18$ reais.

Os nove alunos com menos dinheiro possuem, juntos, R$ 9,00. Eles representam $\frac{9}{10}=90\%$ dos alunos e detêm $\frac{9}{18}=50\%$ do dinheiro. Riquinho representa os $10\%$ restantes dos alunos e possui a outra metade do total.

Podemos representar essa distribuição pela curva de Lorenz. No eixo horizontal, acumulamos os alunos, do menor para o maior valor possuído. No eixo vertical, acumulamos a parcela do dinheiro pertencente a esses alunos.

A diagonal representa igualdade perfeita: nesse caso, cada parcela dos alunos teria a mesma parcela do dinheiro. Por exemplo, $90\%$ dos alunos teriam $90\%$ do total. Na turma da questão, porém, os primeiros $90\%$ possuem apenas $50\%$.

A curva parte de $(0;0)$, passa por $(0{,}9;0{,}5)$ e termina em $(1;1)$, quando incluímos toda a turma e todo o dinheiro. O primeiro trecho é retilíneo porque os nove alunos possuem valores iguais; o último é mais inclinado porque a inclusão de Riquinho acrescenta metade do dinheiro com apenas mais um aluno.

No gráfico, observe o ponto em que 90% dos alunos acumulam 50% do dinheiro e a região azul entre a curva de Lorenz e a diagonal de igualdade.

O Gini é a razão entre a área que separa a diagonal da curva, chamada $A$, e toda a área sob a diagonal, $A+B$. Para calcular as áreas, usamos as proporções de $0$ a $1$, em vez dos números percentuais de $0$ a $100$.

A área total sob a diagonal é a de um triângulo com base e altura iguais a $1$:

$A+B=\frac{1\times1}{2}=0{,}5$.

Calculamos a área $B$, sob a curva de Lorenz, em duas partes. Até $90\%$ dos alunos, temos um triângulo de base $0{,}9$ e altura $0{,}5$. No trecho final, temos um trapézio de largura $0{,}1$ e alturas $0{,}5$ e $1$:

$B=\frac{0{,}9\times0{,}5}{2}+\frac{(0{,}5+1)\times0{,}1}{2}=0{,}225+0{,}075=0{,}3$.

Portanto, a área entre a diagonal e a curva é:

$A=0{,}5-0{,}3=0{,}2$.

Aplicando a definição:

$G=\frac{A}{A+B}=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4$.

O resultado resume a desigualdade da distribuição inteira. Não significa que Riquinho possua 40% do dinheiro: sua participação é de 50%. Também não significa que 40% dos alunos sejam pobres; não foi fornecida uma linha de pobreza.

O gabarito é a letra B.

Questão Q15276