Todas as alternativas apresentam um número elevado ao quadrado. Elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo. Por isso, procuramos uma maneira de escrever o produto do enunciado como a multiplicação de dois números iguais.

Primeiro, observamos os números decimais. O número 2,012 tem três casas decimais, e 20,12 tem duas. Isso sugere associar 2,012 a 1000 e 20,12 a 100: essas multiplicações transformam os dois números em inteiros.

Como a expressão contém apenas multiplicações, podemos mudar a ordem dos fatores e escolher quais multiplicamos primeiro, sem alterar o resultado. Reorganizamos os mesmos quatro fatores em dois pares.

1000\times20{,}12\times2{,}012\times100=(1000\times2{,}012)\times(20{,}12\times100)

A figura acompanha os quatro fatores: os azuis formam o primeiro par, e os laranjas formam o segundo. Nenhum fator desaparece nem é repetido.

Em seguida, calculamos o primeiro par. Multiplicar por 1000 equivale a multiplicar por 10 três vezes. A cada multiplicação por 10, o valor de cada algarismo passa a valer dez vezes mais. Na escrita decimal, a vírgula fica uma posição mais à direita em relação aos algarismos a cada passo.

2{,}012\times10=20{,}12

20{,}12\times10=201{,}2

201{,}2\times10=2012

Assim, o primeiro par vale 2012.

1000\times2{,}012=2012

Depois, calculamos o segundo par. Multiplicar 20,12 por 100 equivale a multiplicar por 10 duas vezes. Partimos de 20,12, passamos por 201,2 e chegamos novamente a 2012.

20{,}12\times100=2012

A figura mostra os três passos do primeiro par e os dois passos do segundo. Os dois percursos terminam no mesmo número.

Agora, substituímos cada par pelo valor que encontramos. Como os dois pares valem 2012, obtemos a multiplicação de 2012 por ele mesmo, que escrevemos como o quadrado de 2012.

$(1000\times2{,}012)\times(20{,}12\times100)=2012\times2012=(2012)^2$

O gabarito é a letra E.

Questão Q14689