Questão Q13968
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(Adaptada) Juquinha marca pontos sobre uma circunferência e traça segmentos ligando alguns desses pontos. Ele chama um ponto de ponto-ímpar quando este está ligado a um número ímpar de pontos, e de ponto-par caso contrário. Por exemplo, na ilustração acima, ele escolheu cinco pontos e fez quatro ligações.
Qual alternativa explica corretamente por que Juquinha sempre encontrará um número par de pontos-ímpares, quaisquer que sejam o número de pontos que ele marcar e o número de ligações que ele traçar?
- A
Cada ligação acrescenta 1 à contagem de cada extremidade. Logo, a soma das contagens é duas vezes o número de ligações e é par. Uma soma par tem uma quantidade par de parcelas ímpares.
- B
Cada ligação altera a paridade de seus dois extremos e, por isso, cria exatamente dois pontos-ímpares. Logo, a quantidade de pontos-ímpares é sempre o dobro da quantidade de ligações traçadas.
- C
Como cada ligação une exatamente dois pontos, o número de ligações traçadas precisa ser par. Logo, também é par a quantidade de pontos ligados a um número ímpar de outros pontos.
- D
Como todos os pontos estão sobre a mesma circunferência, podemos agrupá-los em pares de pontos opostos. Os dois pontos de cada par recebem a mesma quantidade de ligações e têm a mesma paridade.
- E
Ao marcar os pontos sobre a circunferência, Juquinha liga cada um deles a todos os demais pontos marcados. Assim, todos recebem a mesma quantidade de ligações e os pontos-ímpares aparecem aos pares.