Primeiro, seguimos uma diagonal no tabuleiro 4 x 4. Ela atravessa o interior de um quadradinho em cada uma das quatro linhas, passando de uma casa à seguinte pelo vértice. Por isso, corta quatro casas. As casas que a diagonal apenas toca pelo canto, sem atravessar seu interior, não entram na contagem.

A outra diagonal também corta quatro casas. Nesse tabuleiro, o encontro das diagonais fica no vértice central da malha, onde quatro casas se encontram. Nenhuma casa é atravessada pelas duas diagonais. Podemos somar as duas contagens sem repetir quadradinhos:

4 + 4 = 8 quadradinhos.

Na figura seguinte, o azul identifica as casas de uma diagonal, e o laranja identifica as da outra. As duas cores ocupam casas diferentes, mesmo perto do encontro central.

Agora observamos o tabuleiro 5 x 5. Cada diagonal atravessa cinco casas, uma em cada linha. Porém, as duas diagonais passam pelo interior do mesmo quadradinho central.

Se somamos cinco com cinco, contamos essa casa central duas vezes: uma ao seguir a primeira diagonal e outra ao seguir a segunda. Como queremos contar cada quadradinho uma única vez, retiramos apenas a repetição:

5 + 5 − 1 = 9 quadradinhos.

Na figura abaixo, a casa amarela é a única compartilhada pelas duas diagonais. Ela permanece na contagem; descontamos somente a segunda vez em que foi contada.

Esse contraste continua nos tabuleiros maiores. Se a quantidade de quadradinhos de cada lado é par, o centro fica em um vértice da malha. As duas diagonais atravessam casas diferentes, e o total é o dobro da quantidade de casas de um lado, portanto é par.

Se a quantidade de quadradinhos de cada lado é ímpar, há uma linha e uma coluna centrais. No cruzamento delas fica uma casa central, atravessada pelas duas diagonais. O total de casas diferentes é o dobro da quantidade de casas de um lado, menos uma.

O total procurado é 77, que é ímpar. Portanto, o tabuleiro precisa ter uma quantidade ímpar de casas em cada lado, com uma casa central compartilhada.

Para recuperar a soma das duas contagens antes de retirar a repetição, acrescentamos uma unidade a 77. Essa unidade representa a segunda contagem da casa central, não uma nova casa do tabuleiro:

77 + 1 = 78.

As duas diagonais atravessam a mesma quantidade de casas. Dividimos 78 em duas partes iguais para descobrir quantas casas cada diagonal corta:

78 ÷ 2 = 39.

Cada diagonal corta uma casa por linha. Assim, são 39 linhas e 39 colunas, isto é, um tabuleiro 39 x 39.

O gabarito é a letra E.

Questão Q14527