Precisamos determinar as posições da bolinha e do triângulo no Quadro 2015. Antes de continuar a sequência, separamos o número escrito no quadro da quantidade de movimentos realizados. No Quadro 1, as peças ainda estão nas posições iniciais: a bolinha no canto superior esquerdo e o triângulo no meio da lateral direita.

Primeiro, reconhecemos o ciclo. O caminho azul tem oito casas e contorna o centro branco. O triângulo passa para a casa vizinha, avançando uma casa por movimento. Por isso, precisa de oito movimentos para percorrer o contorno e voltar à casa inicial.

A bolinha pula uma casa intermediária e chega à seguinte, avançando duas casas por movimento. Ela visita os quatro cantos do tabuleiro e retorna ao canto superior esquerdo depois de quatro movimentos.

8 ÷ 2 = 4

Depois de oito movimentos, o triângulo completa uma volta, enquanto a bolinha completa duas. As duas peças recuperam ao mesmo tempo suas posições iniciais, e as mesmas regras fazem a sequência se repetir. O ciclo do estado conjunto tem oito movimentos. A comparação dos Quadros 1, 5 e 9 mostra que o retorno da bolinha no Quadro 5 ainda não é o retorno das duas peças.

Em seguida, contamos quantos movimentos levam do Quadro 1 ao Quadro 2015. O primeiro movimento produz o Quadro 2. Portanto, para chegar ao quadro pedido, realizamos uma quantidade de movimentos menor que seu número em uma unidade.

2015 − 1 = 2014

Agora, separamos os ciclos completos. Cada grupo de oito movimentos devolve as duas peças às posições de partida. Duzentos e cinquenta e um grupos correspondem a 2008 movimentos.

251 × 8 = 2008

Restam seis movimentos depois desses grupos.

2014 − 2008 = 6

2014 = 251 × 8 + 6

Após os 2008 movimentos dos ciclos completos, chegamos ao Quadro 2009 com as mesmas posições do Quadro 1. A partir dele, precisamos acompanhar apenas mais seis movimentos.

Em seguida, colocamos a bolinha. Dos seis movimentos restantes, quatro completam uma volta e a devolvem ao canto superior esquerdo, no Quadro 2013. Sobram dois movimentos. No primeiro, a bolinha pula a casa do meio da linha de cima e chega ao canto superior direito, no Quadro 2014. No segundo, pula a casa do meio da lateral direita e chega ao canto inferior direito, no Quadro 2015.

6 = 4 + 2

A figura mostra apenas a bolinha nos três últimos quadros dessa continuação. A contagem indicada abaixo dos quadros começa no Quadro 2009. O triângulo foi omitido somente para acompanharmos uma peça por vez.

Agora, colocamos o triângulo. No Quadro 2009, ele está novamente no meio da lateral direita. Nos seis movimentos restantes, passa sucessivamente pelo canto inferior direito, pelo meio da linha inferior, pelo canto inferior esquerdo, pelo meio da lateral esquerda, pelo canto superior esquerdo e pelo meio da linha superior. Essa última casa é sua posição no Quadro 2015.

A figura acompanha apenas o triângulo, um movimento por quadro. Lemos da esquerda para a direita, linha por linha. A bolinha não aparece nesse estudo individual, mas sua posição final, já determinada, continua sendo o canto inferior direito.

Reunimos as duas peças no tabuleiro pedido. Como seis movimentos desde o Quadro 1 produzem o Quadro 7, o Quadro 2015 tem as mesmas posições do Quadro 7. A diferença entre os números dos dois quadros corresponde exatamente aos 251 ciclos que retiramos.

2015 − 7 = 2008

2008 = 251 × 8

Questão Q14564