A primeira ideia é entender o número AB. Nesse número, A ocupa a casa das dezenas e B ocupa a casa das unidades. Cada dezena vale dez unidades; portanto:

$\overline{AB}=10A+B$

A barra indica o número formado pelos dois algarismos. Assim, AB não representa uma multiplicação.

Como esse número tem dois algarismos, A não pode ser zero: seus valores possíveis vão de 1 a 9. Já B pode assumir um valor de 0 a 9, desde que seja diferente de A.

O enunciado afirma que:

$A\times A+A=10A+B$

No lado esquerdo, os dois termos têm A como fator. Colocando esse fator em evidência, obtemos:

$A\times A+A=A(A+1)$

Logo:

$A(A+1)=10A+B$

Agora usamos uma informação importante: B é zero ou positivo. Somá-lo a dez vezes A não pode diminuir esse valor. Portanto:

$A(A+1)\geq10A$

Como A é positivo, podemos dividir os dois lados por A, mantendo o sentido da desigualdade:

$A+1\geq10$

Subtraindo 1 dos dois lados:

$A\geq9$

Mas A é um algarismo, e nenhum algarismo é maior que 9. Assim, só existe uma possibilidade:

$A=9$

Substituímos esse valor na expressão do enunciado para descobrir o número AB:

$9\times9+9=81+9=90$

Portanto, A é 9 e B é 0. Eles são diferentes, como exige o enunciado.

Falta calcular a expressão pedida, usando o valor de B:

$B\times B+B=0\times0+0=0$

O resultado é zero, justamente o valor do algarismo B.

O gabarito é a letra B.

Questão Q14744