Esta é uma daquelas questões de matemática que parecem um verdadeiro enigma. Temos uma única equação com duas variáveis, a e b, e somos desafiados a encontrar o valor de uma expressão completamente diferente. À primeira vista, parece que faltam informações, mas a estrutura da equação inicial nos dá uma pista valiosa para usar uma ferramenta muito elegante da álgebra: a técnica de completar o quadrado.

A equação que nos foi dada é a² + b² – 4a + 6b + 13 = 0. O nosso objetivo é reorganizá-la para encontrar os valores exatos de a e b. Para isso, vamos agrupar os termos com a e os termos com b:

(a² – 4a) + (b² + 6b) + 13 = 0

Agora, vamos transformar cada parte em um "quadrado perfeito", que é uma expressão do tipo (x+y)². Para o grupo de a, temos a² – 4a. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente que acompanha o 'a' (que é -4), dividimos por 2 (resultando em -2) e elevamos ao quadrado, o que nos dá 4. Assim, o quadrado perfeito seria (a – 2)² = a² – 4a + 4. Para o grupo de b, temos b² + 6b. Seguindo a mesma lógica, pegamos o 6, dividimos por 2 (dá 3) e elevamos ao quadrado, obtendo 9. O quadrado perfeito é (b + 3)² = b² + 6b + 9.

Aqui vem o momento "aha!" da questão. Para completar os dois quadrados, precisaríamos de um "+4" e um "+9". E qual é o número que a equação original nos dá? Exatamente 13, que é a soma de 4 + 9! Isso significa que podemos reescrever a equação original da seguinte forma:

(a² – 4a + 4) + (b² + 6b + 9) = 0

Substituindo pelos quadrados perfeitos que encontramos, temos:

(a – 2)² + (b + 3)² = 0

Agora, chegamos à parte mais importante. No universo dos números reais, o quadrado de qualquer número nunca é negativo. Portanto, a única maneira de a soma de dois quadrados ser igual a zero é se ambos, individualmente, forem iguais a zero. Isso nos leva à única solução possível para a equação:

(a – 2)² = 0 --> a – 2 = 0 --> a = 2
(b + 3)² = 0 --> b + 3 = 0 --> b = -3

Com os valores de a e b finalmente desvendados, basta calcular o valor da expressão pedida: a² + ab + b². Substituindo os valores, temos:

(2)² + (2)(-3) + (-3)² = 4 – 6 + 9 = 7

Portanto, o valor final da expressão é 7.

O gabarito é a letra A.

Questão Q1808