Antes de calcular, distinguimos os dois símbolos: o quadrado preto representa a operação inventada por José, enquanto o sinal de multiplicação representa a multiplicação usual. Resolvemos primeiro a operação dentro de cada parêntese.

Primeiro, aplicamos a regra de José. Somamos os dois números e escrevemos essa soma seguida de uma quantidade de zeros igual ao valor da própria soma.

No primeiro fator, a soma é 1:

1 + 0 = 1

Por isso, escrevemos 1 seguido de um zero:

1 \blacksquare 0 = 10

No segundo fator, a soma é 2:

1 + 1 = 2

Escrevemos 2 seguido de dois zeros:

1 \blacksquare 1 = 200

Aplicamos a mesma regra aos outros três fatores:

1 + 2 = 3

1 \blacksquare 2 = 3000

1 + 3 = 4

1 \blacksquare 3 = 40000

1 + 4 = 5

1 \blacksquare 4 = 500000

Em seguida, substituímos esses resultados na multiplicação pedida:

10 \times 200 \times 3000 \times 40000 \times 500000

Para controlar os zeros sem fazer uma conta longa, separamos cada fator em duas partes: o número que aparece antes dos zeros e a potência de 10 correspondente.

10 = $1 \times 10^1$

200 = $2 \times 10^2$

3000 = $3 \times 10^3$

40000 = $4 \times 10^4$

500000 = $5 \times 10^5$

Podemos reagrupar os fatores porque mudar a ordem e o agrupamento das multiplicações não altera o produto:

(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5) \times (10^1 \times 10^2 \times 10^3 \times 10^4 \times 10^5)

Agora, calculamos separadamente essas duas partes.

O produto dos números de 1 a 5 é:

$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$

No produto das potências de 10, somamos os expoentes:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

$10^1 \times 10^2 \times 10^3 \times 10^4 \times 10^5 = 10^{15}$

Portanto, o produto procurado é:

$120 \times 10^{15}$

Ainda não terminamos a contagem. Multiplicar por essa potência de 10 acrescenta 15 zeros à direita de 120, mas 120 já termina com um zero. Precisamos contar esse zero também:

1 + 15 = 16

Podemos confirmar essa conclusão separando o fator 10 presente em 120:

$120 = 12 \times 10$

$120 \times 10^{15} = 12 \times 10 \times 10^{15} = 12 \times 10^{16}$

Assim, o resultado é formado pelos algarismos 1 e 2 seguidos de 16 zeros. Como 12 não contém zeros, não há outros zeros a contar.

A figura destaca o zero de 120 em laranja e os 15 zeros acrescentados em azul:

Por fim, conferimos por uma multiplicação em etapas:

$10 \times 200 = 2000$

$2000 \times 3000 = 6000000$

$6000000 \times 40000 = 240000000000$

$240000000000 \times 500000 = 120000000000000000$

Há 16 zeros no resultado da multiplicação.

Ao contar zeros em um produto, separamos as potências de 10 e também examinamos o produto dos fatores restantes. Esse produto pode produzir zeros adicionais.

O gabarito é a letra D.

Questão Q14707