Vejamos o que foi pedido: a soma dos algarismos do resultado. Não precisamos calcular duas potências enormes para descobrir como esse número é escrito.

Primeiro, lembramos que uma potência representa uma multiplicação de fatores iguais. Temos 100 fatores iguais a 2 e 103 fatores iguais a 5.

A combinação útil é:

2 \times 5 = 10

Cada par formado por um fator 2 e um fator 5 produz um fator 10.

Podemos entender esse agrupamento com um exemplo menor:

2^2 \times 5^3 = (2 \times 2) \times (5 \times 5 \times 5)

Reorganizamos os fatores, formando dois pares:

(2 \times 5) \times (2 \times 5) \times 5 = 10 \times 10 \times 5 = 500

Nesse exemplo, sobra um fator 5. Na questão, formamos 100 pares, usando todos os fatores 2 e 100 dos fatores 5. Sobram três fatores 5:

103 - 100 = 3

Em seguida, escrevemos essa separação com potências:

5^{103} = 5^{100} \times 5^3

Substituímos no produto original:

2^{100} \times 5^{103} = 2^{100} \times 5^{100} \times 5^3

Os 100 pares de fatores 2 e 5 produzem 100 fatores iguais a 10:

2^{100} \times 5^{100} = (2 \times 5)^{100} = 10^{100}

Calculamos os três fatores 5 que sobraram:

5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125

Portanto:

2^{100} \times 5^{103} = 125 \times 10^{100}

Agora, interpretamos a escrita decimal. Multiplicar um número natural positivo por 10 acrescenta um zero à sua direita. Multiplicar por essa potência de 10 acrescenta 100 zeros.

Assim, o resultado é 125 seguido de 100 zeros:

125 \times 10^{100} = 125\underbrace{00\cdots0}_{100\text{ zeros}}

Os zeros não alteram a soma dos algarismos. Somamos apenas os algarismos 1, 2 e 5:

1 + 2 + 5 = 8

A figura distingue os algarismos que contribuem para a soma dos zeros que não alteram seu valor:

Por fim, conferimos que estamos respondendo à grandeza correta. O número tem três algarismos iniciais e 100 zeros:

3 + 100 = 103

Isso significa que ele tem 103 algarismos, mas a questão pede a soma dos valores desses algarismos:

$1 + 2 + 5 + 100 \times 0 = 8$

Logo, a soma dos algarismos é 8.

Ao multiplicar potências de 2 e de 5, formamos pares que produzem fatores 10. Os fatores restantes determinam o início do número. As potências de 10 acrescentam zeros, sem alterar a soma dos algarismos desse início.

O gabarito é a letra B.

Questão Q14709