Trocar dois algarismos de posição muda o valor que cada um representa. Uma unidade vale 1, uma dezena vale 10 e uma centena vale 100. Precisamos acompanhar o ganho de um algarismo e a perda do outro, porque os dois se movem ao mesmo tempo.

Chamamos de C o algarismo das centenas, de D o das dezenas e de U o das unidades. Essas letras indicam os algarismos do número original, ainda desconhecidos. Não são seus valores posicionais: por exemplo, C é o algarismo, e sua contribuição ao número é 100 vezes C.

Primeiro, examinamos a troca entre unidades e dezenas. O algarismo U sai das unidades e vai para as dezenas. Passa a valer dez vezes o que valia e, portanto, ganha nove vezes seu valor.

$10U-U=9U$

Ao mesmo tempo, D sai das dezenas e vai para as unidades. Sua contribuição diminui de dez vezes D para uma vez D. Assim, perde nove vezes seu valor.

$10D-D=9D$

Subtraímos a perda do ganho. O aumento total é nove vezes a diferença entre U e D. Como o enunciado informa que esse aumento é 18, a diferença entre os dois algarismos é 2.

$9U-9D=9(U-D)=18$

$U-D=18\div9=2$

Portanto, o algarismo das unidades é 2 maior que o das dezenas.

Em seguida, examinamos a troca entre dezenas e centenas. D sai das dezenas e vai para as centenas: sua contribuição passa de dez vezes D para cem vezes D. Ele ganha noventa vezes seu valor.

$100D-10D=90D$

C faz o caminho contrário, das centenas para as dezenas. Ele perde noventa vezes seu valor.

$100C-10C=90C$

O aumento total é noventa vezes a diferença entre D e C. Como esse aumento vale 180, concluímos que a diferença também é 2.

$90D-90C=90(D-C)=180$

$D-C=180\div90=2$

Logo, o algarismo das dezenas é 2 maior que o das centenas.

Agora, combinamos as duas descobertas. Das centenas para as dezenas, o algarismo aumenta em 2; das dezenas para as unidades, aumenta em mais 2. Portanto, U é 4 maior que C.

$U-C=(U-D)+(D-C)=2+2=4$

Por fim, calculamos a troca pedida: unidades com centenas. U sai das unidades e vai para as centenas. Sua contribuição passa de uma vez U para cem vezes U, um ganho de noventa e nove vezes seu valor.

$100U-U=99U$

C sai das centenas e vai para as unidades. Ele perde noventa e nove vezes seu valor.

$100C-C=99C$

Subtraímos a perda do ganho. Como U é 4 maior que C, o aumento é 99 vezes 4.

$99U-99C=99(U-C)=99\times4=396$

O aumento é 396 unidades.

O gabarito é a letra E.

Questão Q14724