O problema nos propõe selecionar cinco inteiros distintos entre 1 e 10, e outros cinco distintos entre 11 e 20, com a seguinte condição: nenhum par de números escolhidos pode diferir exatamente por 10. Com isso em mente, nosso objetivo é descobrir qual será a soma total desses dez números escolhidos.

Para começar, é importante observar a estrutura dos conjuntos. Os números de 1 a 10 e de 11 a 20 formam dois blocos de inteiros consecutivos. E dentro deles, cada número do primeiro grupo tem um “par proibido” no segundo grupo — o número que é exatamente 10 unidades maior. Por exemplo, se escolhermos o número 3 no primeiro grupo, não poderemos escolher o número 13 no segundo, pois 13 – 3 = 10, o que violaria a regra do problema.

Com isso, percebemos que existem exatamente 10 pares perigosos: (1,11), (2,12), ..., (10,20). Isso significa que, ao escolhermos 5 números do primeiro grupo, estaremos automaticamente excluindo os 5 “gêmeos” que diferem por 10 no segundo grupo. Assim, restarão exatamente 5 números válidos no grupo de 11 a 20 para completar nossa seleção.

Vamos considerar uma escolha concreta para entender melhor. Suponha que selecionamos os números 1, 2, 3, 4 e 5 no primeiro grupo. Os números que diferem por 10 em relação a eles são 11, 12, 13, 14 e 15, que se tornam proibidos. Logo, os únicos números restantes disponíveis no segundo grupo serão 16, 17, 18, 19 e 20, que podemos escolher sem violar a regra da diferença de 10.

Agora, somamos os números escolhidos:
No primeiro grupo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
No segundo grupo: 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 90
Portanto, a soma total dos dez números é 15 + 90 = 105.

A pergunta que pode surgir agora é: será que outras escolhas possíveis de números — ainda respeitando a regra da diferença 10 — poderiam gerar uma soma diferente? Para responder a isso, precisamos observar que o conjunto total de números de 1 a 20 tem soma igual a:

1 + 2 + 3 + ... + 20 = (20 × 21) ÷ 2 = 210

Se estamos escolhendo 5 números de cada grupo, no total escolhemos 10 dos 20 números disponíveis, ou seja, exatamente metade. Como a restrição apenas proíbe pares específicos, mas não impede a seleção de outros elementos, qualquer combinação válida de 10 números que respeite a condição nos levará a uma soma complementar: os 10 números não escolhidos formarão a outra metade da soma total. Assim, a soma dos 10 números escolhidos será sempre 210 ÷ 2 = 105.

Em resumo, apesar da restrição imposta pela diferença de 10, é possível fazer escolhas válidas em que os 10 números selecionados somam sempre o mesmo valor. A estrutura simétrica do problema garante que não importa quais pares evitamos, a soma total permanecerá constante.

O gabarito é a letra C.

Questão Q50