Vamos resolver essa questão utilizando um raciocínio clássico da Teoria dos Números, que se baseia na fatoração em números primos. Quando um número natural é decomposto em fatores primos, torna-se possível calcular sua quantidade de divisores positivos com precisão, a partir de uma regra simples, mas poderosa.

Temos o número 720, cuja fatoração em primos já nos foi fornecida na forma:

720 = 2⁴ × 3² × 5¹

Para descobrir o número total de divisores positivos de um número, usamos a seguinte estratégia: somamos 1 a cada expoente da fatoração e depois multiplicamos os resultados. Esse procedimento funciona porque cada divisor é formado por um produto possível dos fatores primos elevados a potências que vão de zero até o respectivo expoente máximo.

Aplicando essa ideia ao número 720:

O fator 2 aparece com expoente 4 → podemos usar 2⁰, 2¹, 2², 2³ ou 2⁴ → 5 possibilidades
O fator 3 aparece com expoente 2 → 3⁰, 3¹ ou 3² → 3 possibilidades
O fator 5 aparece com expoente 1 → 5⁰ ou 5¹ → 2 possibilidades

Multiplicamos as quantidades de escolhas para cada fator:

5 × 3 × 2 = 30

Portanto, o número 720 possui exatamente 30 divisores positivos diferentes. Essa conta inclui tanto o número 1 quanto o próprio 720.

O gabarito é a letra B.

Questão Q717