Nesta questão, queremos formar peças de dominó usando os números 1, 2, 3, 4 e 5. Cada peça é composta por dois números, mas há uma condição especial: as peças são simétricas. Isso significa que a peça (2, 5) é igual à peça (5, 2), ou seja, a ordem dos números não altera a identidade da peça.

Primeiro, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) para formar todos os pares possíveis: para o primeiro número, temos 5 opções (1 a 5); para o segundo número, também temos 5 opções. Assim, ao todo, seriam:

5 × 5 = 25 pares possíveis

No entanto, entre esses 25 pares, há pares como (2, 5) e (5, 2), que representam a mesma peça no contexto do dominó. Precisamos, portanto, eliminar essas repetições simétricas.

Vamos separar os casos com base em como os pares são formados:

Primeiro, há os pares com números iguais, como (1,1), (2,2), ..., (5,5). Como a ordem não importa e os dois números são iguais, não há simetria a ser considerada. Temos 5 desses casos, um para cada número.
Depois, temos os pares com números diferentes. Para cada combinação distinta, como (1,2), há um par espelhado correspondente, como (2,1). Como essas duas versões representam a mesma peça, devemos contar apenas uma de cada dupla.

Dos 25 pares totais, 5 são com números iguais. Os outros 20 são com números diferentes, mas vêm em pares simétricos, ou seja, formam 10 peças únicas.

Somando tudo:

5 (pares com números iguais) + 10 (pares com números diferentes, sem repetir espelhados) = 15 peças diferentes

Portanto, usando exclusivamente o PFC com atenção às escolhas e à simetria, concluímos que o número total de peças diferentes de dominó é 15.

O gabarito é a letra B.

Revisão Teórica: o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é uma ferramenta básica e poderosa da análise combinatória que nos permite calcular o número total de possibilidades em uma situação composta por etapas sucessivas e independentes. Ele afirma que, se uma tarefa pode ser realizada em etapas, e cada etapa possui um número fixo de opções, o total de maneiras diferentes de executar a tarefa é dado pelo produto das quantidades de escolhas disponíveis em cada etapa. Por exemplo, se para escolher uma senha temos 3 opções para a primeira letra e 4 para a segunda, então existem 3 × 4 = 12 senhas possíveis.

Questão Q718