Esta questão propõe um desafio bem curioso, que mistura combinações numéricas com uma leitura atenta de um intervalo específico. A ideia não é apenas encontrar números de quatro dígitos com algarismos distintos em ordem crescente—é preciso também garantir que esses números estejam entre 2020 e 2400. Ou seja, não basta cumprir a regra dos dígitos únicos e crescentes; o número também precisa “caber” dentro desse pedaço do universo numérico.

Vamos começar pelo básico. Queremos formar números de quatro dígitos, do tipo abcd, em que cada dígito é diferente e segue a ordem a < b < c < d. Como estamos escolhendo entre os 10 dígitos de 0 a 9, o total de combinações possíveis seria dado por C(10, 4) = 210. Só que nem todas essas viram números válidos de quatro dígitos: por exemplo, 0123 está nessa conta, mas começa com zero, então nem entra no jogo.

Além disso, grande parte dessas 210 combinações simplesmente está fora do intervalo entre 2020 e 2400. E aqui está o cerne da questão: como garantir que o número montado, além de ter os dígitos em ordem, fique dentro dessa faixa?

Se observarmos com calma, todos os números entre 2020 e 2400 precisam começar com o dígito 2. Então já fixamos isso: a = 2. Os três dígitos seguintes (b, c, d) precisam ser maiores que 2, ainda distintos e ordenados. Isso nos deixa com o conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} como opções para os próximos dígitos — sete números no total.

Queremos então escolher três desses sete para completar a sequência crescente. Isso dá C(7, 3) = 35 combinações possíveis — ou seja, 35 números que começam com 2 e têm os outros dígitos subindo, como 2345, 2356, 2378, e por aí vai. Parece promissor... mas ainda falta um filtro essencial.

Lembre-se: o número final precisa ser menor que 2400. Assim, qualquer número que comece com “24” já estoura o limite — 2401, por exemplo, já ficou fora. Isso quer dizer que se o segundo dígito (b) for 4 ou maior, já passamos da conta. Portanto, a única opção viável para b é 3. Se usarmos b = 3, ainda podemos montar os pares seguintes (c, d) com os números de 4 a 9. São exatamente C(6, 2) = 15 combinações possíveis, todas menores que 2400.

Portanto, apesar de parecer que temos 35 boas opções, apenas 15 delas de fato respeitam o intervalo.

O gabarito é a letra C.

Questão Q728