As condições do problema restringem casas diferentes do número. Começamos pelas duas últimas, que precisam somar dezesseis.

Primeiro, listamos os pares de algarismos das dezenas e das unidades que têm essa soma. Como nenhum algarismo passa de nove, só aparecem os finais 79, 88 e 97.

7 + 9 = 16

8 + 8 = 16

9 + 7 = 16

O número precisa ser ímpar, por isso descartamos o final 88. Restam 79 e 97, dois finais possíveis.

A figura mostra os três pares com soma dezesseis e identifica os dois que deixam o número ímpar.

Em seguida, escolhemos os dois primeiros algarismos. O primeiro pode ser de 1 a 9, pois um número de cinco algarismos não começa com zero. O segundo pode ser qualquer algarismo de 0 a 9.

9 × 10 = 90

Agora, escolhemos o terceiro algarismo, o das centenas, para que a soma de todos os algarismos seja múltipla de cinco. Os dois últimos já contribuem com dezesseis, tanto no final 79 quanto no final 97.

Por exemplo, se escolhemos 1 e 2 para as primeiras casas, a soma conhecida é dezenove.

1 + 2 + 16 = 19

Podemos colocar 1 ou 6 na casa das centenas. As somas completas ficam vinte ou vinte e cinco.

19 + 1 = 20

19 + 6 = 25

Com o final 79, obtemos 12179 e 12679. Os dois atendem a todas as condições.

O mesmo raciocínio funciona para qualquer escolha das primeiras casas. Um múltiplo de cinco termina em zero ou cinco. Dependendo de como termina a soma já conhecida, sempre existem dois algarismos de 0 a 9 que a completam até um desses finais.

A tabela mostra todas as possibilidades. “Soma conhecida” significa a soma dos dois primeiros algarismos mais dezesseis, ainda sem o algarismo das centenas.

Essas duas opções diferem por cinco. Temos uma opção entre 0 e 4 e outra entre 5 e 9. Portanto, não importa quais sejam os dois primeiros algarismos: sempre há exatamente duas escolhas para a centena.

Contamos os números multiplicando as quantidades de escolhas. As centenas não são escolhidas livremente, mas o número de opções permanece igual a dois em todos os casos.

9 × 10 × 2 × 2 = 360

A figura organiza as escolhas nas cinco casas. As duas últimas são escolhidas juntas, como 79 ou 97.

O gabarito é a letra D.

Questão Q14118