Podemos contar os caminhos separando a viagem em trechos, sem desenhar todos os percursos completos de uma vez.

Primeiro, marcamos dois pontos auxiliares. Chamamos de A o encontro no meio do lado superior do quadrado grande e de B o encontro no meio do lado esquerdo desse quadrado. Todo caminho de P até Q passa por A ou por B. Para sair dos três quadradinhos iniciais em direção a Q, precisamos atravessar uma dessas duas passagens. Não podemos passar pelas duas na mesma viagem, pois ir de A a B exige andar para a esquerda, e ir de B a A exige andar para cima.

A figura mostra as duas passagens. As letras A e B são acrescentadas somente para a explicação.

Em seguida, contamos as maneiras de chegar a A. Precisamos dar dois passos para a direita e um para baixo, cada um com o comprimento do lado de um quadradinho. O passo para baixo pode vir antes, entre ou depois dos dois passos para a direita. As três ordens usam apenas linhas existentes.

Agora, contamos as continuações de A até Q. A partir de A, seguimos para a direita até o canto do quadrado grande e depois descemos até o primeiro encontro. Esses dois trechos são obrigatórios, porque não existem linhas atravessando o interior do quadrado grande. A partir desse encontro, faltam um passo para a direita e dois para baixo. O passo para a direita pode vir antes, entre ou depois dos dois passos para baixo.

A figura mostra as três continuações possíveis de A até Q.

Para cada um dos três caminhos de chegada a A, podemos escolher qualquer uma das três continuações. São três grupos de três percursos. Cada percurso tem uma chegada e uma continuação bem definidas, por isso não contamos o mesmo caminho duas vezes.

3 × 3 = 9

Depois, contamos os caminhos que passam por B. Ao trocar direita por baixo e baixo por direita em cada percurso, obtemos um percurso refletido na diagonal de P a Q. A figura permanece igual e A troca de lugar com B. Essa correspondência dá a cada caminho por A exatamente um caminho por B, portanto também temos 9 caminhos por B.

Como todo percurso passa por uma dessas passagens e nenhum passa pelas duas, somamos os grupos.

9 + 9 = 18

O gabarito é a letra A.

Questão Q14280