Primeiro, retomamos a contagem com as somas das linhas na ordem 4, 3, 2, 1, de cima para baixo. Nessa ordem, a primeira linha contém quatro números 1. Pela definição de equilíbrio, existe uma coluna de soma 1. Ela pode ocupar qualquer uma das quatro posições e precisa conter 1 no alto e três zeros abaixo. Também existe uma coluna de soma 4, formada por quatro números 1. Escolhida a coluna de soma 1, restam três posições para a coluna de soma 4.

Em seguida, completamos a última linha com zeros fora da coluna de soma 4, pois seu único 1 já está nessa coluna. Completamos também a segunda linha com números 1 fora da coluna de soma 1: ela precisa de três uns e já tem um zero nessa coluna.

Agora, faltam duas casas na terceira linha. Como essa linha já tem um 1 e precisa somar 2, colocamos um 1 em uma das casas vazias e um 0 na outra. Há duas escolhas para a posição desse novo 1. As duas colunas que faltavam passam a somar 2 e 3. Portanto, cada escolha produz um preenchimento equilibrado.

A figura retoma os seis preenchimentos em que a coluna de soma 1 está à esquerda: três posições para a coluna de soma 4, com duas continuações em cada uma. O mesmo acontece nas outras três posições da coluna de soma 1.

Contamos quatro posições para a coluna de soma 1, três para a coluna de soma 4 e duas escolhas para completar a terceira linha. Essas escolhas identificam cada preenchimento uma única vez:

4 × 3 × 2 = 24

Essas 24 tabelas ainda têm as somas das linhas na ordem 4, 3, 2, 1. Para responder à letra c, precisamos permitir outras ordens.

Depois, observamos o que acontece quando trocamos linhas inteiras de posição. Cada linha conserva seus números, então conserva sua soma. Em cada coluna, apenas mudamos a ordem dos mesmos quatro números, sem alterar a soma. Portanto, a tabela continua equilibrada.

A figura mostra um exemplo concreto: trocamos a primeira linha, de soma 4, com a terceira, de soma 2. As somas das linhas passam de 4, 3, 2, 1 para 2, 3, 4, 1. As somas das colunas permanecem 1, 2, 3, 4.

Em seguida, contamos quantas ordens podemos dar às quatro linhas. A linha de soma 4 pode ocupar qualquer uma das quatro posições. A figura mostra um exemplo para cada posição dessa linha. As outras três linhas ainda podem trocar de posição entre si.

Escolhida a posição da linha de soma 4, restam três lugares para a linha de soma 3. Depois dessas duas escolhas, restam dois lugares para a linha de soma 2. A linha de soma 1 ocupa o único lugar restante. Como as quatro linhas têm somas diferentes, elas são distintas. Cada ordem produz uma tabela diferente:

4 × 3 × 2 × 1 = 24

Agora, combinamos as duas contagens. Cada um dos 24 preenchimentos com linhas na ordem 4, 3, 2, 1 permite 24 ordens das linhas. Para cada preenchimento inicial, temos um grupo de 24 tabelas:

24 × 24 = 576

Existem 576 tabelas equilibradas, considerando todas as ordens possíveis das linhas e das colunas.

O gabarito é a letra E.

Questão Q14506