Para contar as vezes em que Mariana escreve o algarismo $2$, precisamos distinguir duas situações: ele aparece como o próprio fator primo $2$ e também pode fazer parte da escrita de outro fator primo.

Começamos pelos fatores iguais a $2$. Cada número par tem pelo menos um fator $2$ em sua decomposição. Entre $2$ e $100$, há $50$ números pares. Portanto, já contamos uma ocorrência em cada uma dessas $50$ decomposições.

Mas alguns números têm mais de um fator $2$. Por exemplo:

$$24=2\times2\times2\times3$$

O número $24$ é múltiplo de $2$, de $4$ e de $8$. Ao contar os múltiplos de $2$, contamos seu primeiro fator $2$; ao contar os múltiplos de $4$, contamos o segundo; ao contar os múltiplos de $8$, contamos o terceiro. Assim, contamos três ocorrências diferentes, sem repetir a mesma ocorrência. Como $24$ não é múltiplo de $16$, ele não contribui com uma quarta ocorrência.

Aplicamos a mesma ideia a todos os números da lista. Os múltiplos de $4=2\times2$ fornecem um segundo fator $2$; os múltiplos de $8=2\times2\times2$ fornecem um terceiro; e assim por diante.

Para contar os múltiplos de um número até $100$, dividimos $100$ por esse número e consideramos apenas os grupos completos. Por exemplo, há $12$ múltiplos de $8$, pois $12\times8=96$ e acrescentar mais $8$ já ultrapassa $100$.

Não há uma sétima camada, pois $2^7=128$ é maior que $100$. Se um número tivesse sete fatores $2$, seria pelo menos $128$.

Somando as seis camadas, obtemos a quantidade de fatores iguais a $2$ escritos por Mariana:

$$50+25+12+6+3+1=97$$

Ainda precisamos contar o algarismo $2$ quando ele faz parte de outro número primo. Entre os primos até $100$, isso acontece somente em $23$ e $29$. Para conferir, observamos que os números de dois algarismos terminados em $2$ são pares e maiores que $2$, portanto não são primos. Entre os números de $20$ a $29$, os pares também não são primos, $21$ e $27$ são múltiplos de $3$, e $25$ é múltiplo de $5$. Restam $23$ e $29$.

O fator primo $23$ aparece nas decomposições de seus múltiplos até $100$:

$$23,\ 46,\ 69,\ 92$$

O fator primo $29$ aparece nas decomposições de:

$$29,\ 58,\ 87$$

Cada uma dessas decomposições contém uma única cópia do respectivo primo, pois $23^2$ e $29^2$ são maiores que $100$. Portanto, temos mais $4+3=7$ ocorrências do algarismo $2$.

Juntando as duas contagens, encontramos:

$$97+7=104$$

Quando contamos algarismos em uma lista de fatorações, precisamos observar tanto os fatores que são iguais ao algarismo pedido quanto os outros fatores que contêm esse algarismo em sua escrita. Mariana escreveu o algarismo $2$ um total de $104$ vezes.

O gabarito é a letra B.

Questão Q15070