A Estratégia: Um Novo Desafio na Contagem por Casos

Este problema, assim como o anterior, envolve a contagem de números de três algarismos que obedecem a uma regra sobre a soma de seus dígitos. A estratégia de análise de casos, separando as possibilidades pelo primeiro algarismo, continua sendo a mais didática. No entanto, com uma soma maior como 18, surge uma nova restrição importante: devemos garantir que nenhum dos algarismos da dezena ou da unidade ultrapasse o valor máximo de 9, o que torna a contagem um pouco mais complexa.

O Padrão Modificado: Investigando os Primeiros Casos

O primeiro dígito (centena) não pode ser zero. Além disso, a soma máxima que os outros dois dígitos (dezena e unidade) podem ter é 9 + 9 = 18. Isso significa que o primeiro dígito não pode ser maior que 9, mas também não pode ser 0. Assim, ele pode variar de 1 a 9.

Caso 1: Números que começam com 1. A soma dos outros dois dígitos (d+u) deve ser 18 - 1 = 17. Respeitando o limite de que nenhum dígito pode ser maior que 9, as únicas combinações possíveis são (8, 9) e (9, 8). Isso nos dá 2 números: 189 e 198.
Caso 2: Números que começam com 2. A soma (d+u) deve ser 18 - 2 = 16. As combinações possíveis são (7, 9), (8, 8) e (9, 7). Isso nos dá 3 números.

A Progressão Completa e a Soma dos Resultados

Ao continuar a análise para os próximos casos, um padrão claro de crescimento emerge. Para cada unidade que aumentamos no primeiro dígito, o número de combinações possíveis para os outros dois também aumenta em uma unidade, até atingir o seu máximo.

Começando com 3, a soma (d+u) é 15, resultando em 4 números.
Começando com 4, a soma (d+u) é 14, resultando em 5 números.
O padrão continua até o último caso: começando com 9, a soma (d+u) é 9. As combinações vão de (0, 9) a (9, 0), resultando em 10 números.

Para encontrar o total, somamos os resultados de todos os casos: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. Esta é a soma de uma progressão aritmética que pode ser calculada facilmente, resultando em 54. Portanto, concluímos que existem 54 números de três algarismos que atendem à condição.

Questão Q1851