O retângulo 3 × 7 tem 21 quadradinhos. As peças 2 × 2 e 1 × 4 sempre cobrem 4 quadradinhos cada. Então, se quisermos usar o mínimo possível de peças 1 × 1, precisamos cobrir o máximo possível com peças de área 4.

O problema é que 21 não é múltiplo de 4 — sobra sempre 1 quadradinho. Isso significa que, mesmo cobrindo quase tudo com peças grandes, vai sobrar pelo menos 1 casa para ser coberta por uma peça 1 × 1. Até aqui parece que poderia ser 1 a resposta, mas existe outro detalhe.

Se pintarmos o retângulo com colunas alternadas de vermelho e azul (tipo um xadrez de colunas inteiras), teremos 12 quadradinhos vermelhos e 9 azuis.

A ideia de pintar o tabuleiro é um truque para perceber restrições invisíveis. Quando pintamos colunas inteiras alternadamente de vermelho e azul, ficamos com:

- - 4 colunas vermelhas → 4 × 3 = 12 quadradinhos vermelhos
  - 3 colunas azuis → 3 × 3 = 9 quadradinhos azuis

Ou seja, o tabuleiro inteiro já começa desbalanceado, com 3 vermelhos a mais.

Agora, repare:

- - Uma peça 2 × 2 sempre cobre 2 vermelhos e 2 azuis.
  - Uma peça 1 × 4 também sempre cobre 2 vermelhos e 2 azuis (porque é longa, mas atravessa colunas de cores diferentes).

Isso significa que nenhuma peça grande consegue “mexer” nessa diferença de 3. Se começamos com mais vermelhos, terminamos com mais vermelhos depois de colocar qualquer quantidade de peças grandes.

A única forma de ajustar essa diferença é usando peças 1 × 1, que podem cobrir apenas uma cor.
Para “equilibrar” o excesso de 3 vermelhos, precisamos obrigatoriamente colocar 3 peças 1 × 1 sobre casas vermelhas.

E ainda sobra o problema da divisibilidade:
O total de área é 21. Tirando múltiplos de 4 (ocupados pelas peças grandes), sempre sobra 1 quadradinho que também vai precisar ser coberto por uma peça 1 × 1.

Assim:

- - 3 peças para corrigir o excesso de vermelhos
  - 1 peça por causa da sobra no múltiplo de 4
    = 4 peças até aqui.

Só que essa “peça da sobra” pode cair em um vermelho ou azul. Se cair em um vermelho, aumentamos ainda mais a diferença e precisaremos de mais uma peça 1 × 1 em azul para balancear. Isso nos leva a 5 no total, que é o mínimo possível.

O gabarito é a letra E.

Questão Q16