Essa questão mistura ideias bem conhecidas da geometria plana com um toque criativo: trabalhar com perímetro igual entre dois triângulos que compartilham um mesmo vértice. A figura nos dá um triângulo retângulo com lados de medidas 3, 4 e 5, ou seja, um triângulo pitagórico perfeito. O desafio é localizar um ponto D no lado BC de modo que os triângulos ACD e ABD tenham perímetros iguais, e a partir disso calcular a área do triângulo ABD.

Vamos começar pelas medidas conhecidas. Os lados do triângulo original são: AB = 4, AC = 3, BC = 5.

Chamemos BD = x, o que automaticamente dá DC = 5 - x, já que o ponto D está sobre o segmento BC.

O perímetro do triângulo ABD será AB + BD + AD, e o do triângulo ACD será AC + DC + AD. Como queremos que os dois perímetros sejam iguais, podemos montar a equação:

4 + x + AD = 3 + (5 - x) + AD

Tirando AD dos dois lados e resolvendo:

4 + x = 8 - x
2x = 4
x = 2

Portanto, BD = 2, e isso posiciona o ponto D a 2 unidades de B sobre a reta BC.

Agora que temos a distância, vamos localizar as coordenadas do ponto D. Sabemos que o ponto B está em (4, 0) e o ponto C em (0, 3), então o vetor que vai de B até C é (-4, 3), com comprimento 5. O ponto D, estando a 2/5 dessa distância de B em direção a C, terá coordenadas:

D = B + (2/5) × (C - B) = (4, 0) + (2/5)(-4, 3) = (12/5, 6/5)

Agora usamos a fórmula da área de um triângulo com coordenadas:

Área = (1/2) × |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Usando os pontos A(0,0), B(4,0) e D(12/5, 6/5):

Área = (1/2) × |0(0 - 6/5) + 4(6/5 - 0) + (12/5)(0 - 0)|
Área = (1/2) × 24/5 = 12/5

Esse tipo de questão é uma excelente demonstração de como diferentes áreas da geometria se conectam: o uso de perímetro, vetor, coordenadas e fórmula de área aparecem de forma integrada e lógica.

O gabarito é a letra D.

Questão Q807