Questão Q13536

Ano: 2007Instituição: OBMEPClasse: Nível 1Matéria: MatemáticaAssunto: Perímetro, Figuras Planas, Geometria

(Adaptada) Em um tabuleiro quadrado, dividido em nove quadradinhos com lados de 1 cm, podemos fazer várias figuras pintando exatamente cinco desses quadradinhos de cinza. Dizemos que o perímetro de uma dessas figuras é o comprimento do seu contorno. Por exemplo, o perímetro das duas figuras abaixo é 14 cm.

O maior perímetro possível de uma figura formada por cinco quadradinhos é 20 cm. Classifique cada afirmação que explica o porquê disso como verdadeira ou falsa.

Se medirmos os cinco quadradinhos separadamente, a soma de seus perímetros será 20 cm.

Cada vez que dois quadradinhos pintados encostam por um lado, o perímetro final diminui 1 cm em relação à soma dos perímetros separados.

Quando dois quadradinhos pintados se encontram apenas por uma ponta, esse encontro não diminui o perímetro, pois nenhum lado fica no interior da figura.

Se a é o número de lados compartilhados entre pares de quadradinhos pintados, então o perímetro é \(P=20-2a\). Logo, \(P\leq20\), com igualdade somente quando \(a=0\).

Há pelo menos duas escolhas diferentes de cinco casas do tabuleiro que produzem perímetro de 20 cm sem que duas casas pintadas encostem por um lado.

A palavra “figura” obriga os cinco quadradinhos a formar um único conjunto ligado por lados. Sob essa condição, o maior perímetro é 12 cm e, portanto, 20 cm não é o maior perímetro pedido no enunciado.