Antes de calcular, escolhemos o lado de um quadradinho como uma unidade de comprimento. Os lados horizontais e verticais podem ser contados diretamente. Para não fingirmos que uma diagonal mede o mesmo que um lado, chamamos de d a diagonal de um quadradinho.

Primeiro, analisamos o polígono I. Ele tem quatro lados retos de 2 unidades cada.

$4\times2=8$

Também tem quatro lados inclinados. Cada um atravessa exatamente um quadradinho na diagonal, então cada lado inclinado mede d.

$4\times d=4d$

Juntamos as duas partes do contorno.

$P_I=8+4d$

Em seguida, analisamos o polígono II. Sua base mede 4 unidades e sua altura também mede 4 unidades.

$4+4=8$

O lado inclinado atravessa quatro quadradinhos seguidos na direção diagonal. Podemos dividi-lo nos pontos em que cruza a malha. Ele equivale a quatro diagonais de quadradinho.

$4\times d=4d$

Assim, seu perímetro é:

$P_{II}=8+4d$

Os polígonos I e II têm 8 unidades de lados retos e quatro diagonais d. Portanto, seus perímetros são iguais.

Agora, conferimos os outros dois polígonos. O polígono III é um quadrado de lado 3 unidades.

$P_{III}=4\times3$

$P_{III}=12$

O polígono IV tem uma base de 6 unidades e dois lados inclinados de \(3d\) cada.

$P_{IV}=6+6d$

Uma diagonal de quadradinho é maior que um lado do mesmo quadradinho. Portanto:

$d>1$

Usamos esse fato para conferir que III não tem o mesmo perímetro de I e II.

$(8+4d)-12=4(d-1)>0$

Também conferimos que IV tem perímetro maior que I e II.

$(6+6d)-(8+4d)=2(d-1)>0$

Assim, nenhum dos outros pares funciona.

Esquematizando:

O gabarito é a letra E.

Questão Q13538