Para determinar a soma dos números que devem ser colocados nas casas sombreadas, analisam-se as propriedades de igualdade entre as somas dos subtabuleiros 2×2 adjacentes.

Denominam-se as casas vazias do tabuleiro utilizando coordenadas ou letras para facilitar a identificação: A para a casa sombreada superior direita, X para a casa branca central, B para a casa sombreada inferior esquerda e C para a casa sombreada inferior direita.

O enunciado estabelece que a soma de todos os quatro elementos de cada um dos quatro subtabuleiros 2×2 deve ser igual a uma mesma constante S.

Comparam-se, inicialmente, o subtabuleiro superior esquerdo e o subtabuleiro superior direito. Ambos compartilham as duas casas da coluna do meio, que contêm o número 7 e a incógnita central X. Monta-se a igualdade das somas desses dois blocos:

3+7+4+X=7+A+X+2

Como os termos 7 e X aparecem em ambos os lados da equação, eles se cancelam mutuamente ao se isolar a incógnita A, simplificando a relação métrica entre as colunas externas:

3+4=A+2 ⟹ 7=A+2 ⟹A=5

Em seguida, comparam-se o subtabuleiro superior esquerdo e o subtabuleiro inferior esquerdo. Esses dois blocos compartilham a linha do meio, composta pelo número 4 e pela casa central X. Estabelece-se a igualdade entre as suas somas:

3+7+4+X=4+X+B+1

Cancelando-se os termos repetidos 4 e X que integram a intersecção horizontal dos blocos, determina-se diretamente o valor da casa sombreada inferior esquerda B:

3+7=B+1⟹10=B+1⟹B=9

Conhecendo-se os valores de duas das casas sombreadas, calcula-se a constante de soma S a partir de qualquer um dos subtabuleiros cujos componentes externos já estejam definidos. Utilizando-se o bloco superior esquerdo, observa-se que o valor de S depende apenas da incógnita central X:

S=3+7+4+X⟹S=14+X

Por fim, analisa-se o subtabuleiro inferior direito, cuja soma também deve ser igual a S. Esse subtabuleiro é composto pelas casas X, 2, 1 e pela última casa sombreada C:

X+2+1+C=S

Substituindo-se a expressão encontrada para S (14+X) na equação do último subtabuleiro, elimina-se a variável central X para encontrar o valor de C:

X+3+C=14+X⟹3+C=14⟹C=11

Para responder ao problema, realiza-se a soma dos três valores obtidos para as casas sombreadas (A, B e C):

A+B+C=5+9+11=25

A imposição de somas idênticas em subdivisões sobrepostas de uma matriz gera um sistema de equações lineares em que as regiões de intersecção se anulam na comparação de blocos adjacentes. Essa propriedade matemática elimina a dependência de elementos internos compartilhados, permitindo deduzir os valores das extremidades individualmente e obter a soma total das regiões indicadas.

O gabarito é a letra C.

Questão Q10337