Primeiro, repararemos que somar cinco vezes o mesmo número é o mesmo que multiplicar por 5:

5 × GOTA = AGUA

Em seguida, descobriremos o valor de G. GOTA é um número de quatro algarismos (entre 1000 e 9999), e AGUA também. Multiplicando por 5, o resultado precisa continuar com quatro algarismos (se não, não caberia em AGUA). Então:

5 × GOTA ≤ 9999 → GOTA ≤ 1999

Como GOTA é de quatro algarismos, GOTA ≥ 1000. Juntando as duas coisas, G só pode ser 1.

Agora, usaremos isso para limitar o valor de A. Como G = 1 e GOTA vai de 1000 a 1999:

5 × 1000 = 5000 e 5 × 1999 = 9995

Então AGUA fica entre 5000 e 9995 — e o primeiro algarismo de AGUA é A. Além disso, o segundo algarismo de AGUA é G = 1. Portanto AGUA tem a forma A_1_U_A (começa e termina com A, e a centena é 1).

Como AGUA ≥ 5000, sabemos que A ≥ 5. Testaremos A = 5 primeiro (o menor candidato).

Montaremos a conta com A = 5 e G = 1. GOTA = 10T5 (ou seja, 1000 + 100O + 10T + 5). Multiplicando por 5:

5 × (1000 + 100O + 10T + 5) = 5025 + 500O + 50T

Esse resultado precisa ter a forma 5_1_U_5 (= 5105 + 10U). Então:

5025 + 500O + 50T = 5105 + 10U → 500O + 50T − 10U = 80

Dividindo tudo por 10: 50O + 5T − U = 8.

Como O não pode ser 1 (já é G) nem 5 (já é A), testemos O = 0:

5T − U = 8

Precisamos de T e U diferentes entre si e diferentes de 0, 1 e 5. Testando T = 3: 5 × 3 − U = 8 → U = 7. E 7 é diferente de tudo que já usamos (0, 1, 3, 5). ✓

Por fim, conferiremos a conta completa. GOTA = 1035 e AGUA = 5 × 1035 = 5175:

G = 1, O = 0, T = 3, A = 5, U = 7 — todos diferentes ✓
AGUA = 5175 → primeiro algarismo A = 5 ✓, segundo G = 1 ✓, terceiro U = 7 ✓, quarto A = 5 ✓

Tudo bate. O algarismo que T representa é 3.

A lição que vale guardar: em criptografia aritmética, o primeiro passo é quase sempre o mesmo: limitar os valores possíveis usando o número de algarismos. Aqui, o fato de o resultado ter apenas 4 algarismos "prendeu" G no 1 e A na faixa 5–9, e a partir daí cada teste foi rápido.

O gabarito é a letra C.

Questão Q10382