Primeiro, entenderemos o que é um "bloco de 1s". Quando escrevemos todos os números lado a lado, às vezes aparecem vários algarismos 1 grudados, um seguido do outro. O exemplo do enunciado mostra o trecho em volta do 10, 11 e 12:

…9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3…

O "0" do 10 e o "2" do 12 cortam a sequência de uns, e no meio ficam três 1 consecutivos (o último dígito do 10 — não, vamos com calma). O bloco de 3 aparece assim: o "1" que inicia o 11, o "1" que termina o 11 e o "1" que inicia o 12. Antes dele tem o 0 do 10, e depois o 2 do 12 — os dois "cortam" o bloco.

Em seguida, pensaremos em onde pode surgir um bloco ainda maior. Blocos grandes de 1 aparecem quando temos números feitos quase inteiramente de 1. O campeão é o 1111 — um número com quatro dígitos, todos iguais a 1, que cabe na fila porque 1111 ≤ 2018.

Agora, olharemos o que acontece na vizinhança do 1111, dígito por dígito:

1110 = 1, 1, 1, 0 ← o zero corta tudo; o bloco começa depois dele
1111 = 1, 1, 1, 1 ← quatro 1 seguidos
1112 = 1, 1, 1, 2 ← mais três 1, e o 2 fecha o bloco

Juntando: …0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2…

Contando os 1 consecutivos: 4 (do 1111) + 3 (do início do 1112) = 7.

Por fim, verificaremos que não dá para conseguir 8. Para o bloco crescer antes, precisaríamos que o número anterior ao 1111 (que é o 1110) terminasse em 1, mas ele termina em 0. Para crescer depois, precisaríamos que o 1112 tivesse um quarto 1 no lugar do 2, mas aí ele seria o 1111, não o 1112. E não existe nenhum outro trecho na fila que produza mais de 7, porque o 1111 é o único número de quatro dígitos feito só de uns que cabe na lista (o próximo seria 11111, que passa de 2018). Em trechos menores (como 111 e 112, que dão bloco de 5, ou 11 e 12, que dão bloco de 3), o resultado é sempre menor que 7.

A lição que vale guardar: em problemas com "fila de algarismos", a chave é pensar em quais números vizinhos contribuem dígitos 1 na fronteira. O bloco mais gordo sempre nasce em volta do maior "repunit" (número feito só de 1) que cabe no intervalo (aqui, o 1111) e cresce dos dois lados até esbarrar num dígito diferente.

O gabarito é a letra D.

Questão Q10384