Primeiro, traduziremos a conta em números. OBMEP é um número de cinco algarismos e OBM é um número de três algarismos. A soma deles dá exatamente 20000. Isso significa que:

OBMEP = 20000 − OBM

Em seguida, descobriremos O (a primeira letra). OBMEP tem cinco algarismos, então vai de 10000 a 19999 (se começasse com 2, já seria pelo menos 20000 e não sobraria espaço para somar um número positivo e continuar dando 20000). Portanto, O = 1.

Agora, apertaremos o cerco com B. Sabendo que O = 1, OBMEP vai de 10000 a 19999. Somamos OBM, que começa com O = 1, então OBM vai de 100 a 199. Para a soma dar 20000:

OBMEP ≥ 20000 − 199 = 19801

Então OBMEP começa com 19… e B = 9.

Continuaremos com M. Agora OBMEP = 19ME P e OBM = 19M. A soma tem que dar 20000. Montando a equação com os valores conhecidos:

19000 + 100M + 10E + P + 190 + M = 20000 101M + 10E + P = 810

Como 101 × 8 = 808, e 101 × 7 = 707 (sobrariam 103, mas 10E + P vai até 99 — não bastaria), concluímos que M = 8.

Agora, fecharemos com E e P:

808 + 10E + P = 810 → 10E + P = 2

Os dois algarismos que formam o número 02 são E = 0 e P = 2. Conferindo: são diferentes entre si e diferentes de O = 1, B = 9 e M = 8. ✓

Por fim, conferiremos a conta toda. OBMEP = 19802 e OBM = 198:

19802 + 198 = 20000 ✓

O algarismo representado por P é 2.

A lição que vale guardar: em criptografia aritmética, o melhor amigo é o número de algarismos do resultado. Ele "prende" a primeira letra num valor quase certo. Aqui, o 20000 obrigou O a ser 1, que obrigou B a ser 9, que obrigou M a ser 8, e de repente o quebra-cabeça inteiro se resolveu numa cascata. Comece sempre por onde o espaço de manobra é menor.

O gabarito é a letra B.

Questão Q10385