Antes de olhar as alternativas, vale fixar um princípio de comparação de áreas que resolve todo o problema sem precisar medir nada. Num quadrado, sempre que dividimos a figura por segmentos retos, podemos comparar áreas reduzindo tudo a triângulos com a mesma base e a mesma altura: tais triângulos têm áreas iguais. Assim:

- - uma diagonal parte o quadrado em duas metades iguais;
  - dois segmentos ligando o vértice superior aos vértices da base formam um triângulo de base igual ao lado e altura igual ao lado, logo sua área é metade do quadrado;
  - se um segmento vai de um vértice a um ponto qualquer no lado oposto (não vértice), o triângulo pequeno que sobra na outra ponta tem base menor (mesma altura), portanto área menor que 1/2, e a região complementar tem mais de 1/2.

Agora, às alternativas:

A letra A está incorreta. As duas diagonais dividem o quadrado em quatro triângulos congruentes; como a região sombreada reúne dois desses triângulos, ela tem exatamente metade da área do quadrado.

A letra B está incorreta. A diagonal separa o quadrado em duas partes iguais; a região sombreada é um dos dois triângulos, logo vale 1/2 do quadrado.

A letra C está incorreta. O triângulo sombreado tem a mesma altura da opção II, porém base menor (a diagonal não pega o lado todo), portanto sua área é menor que 1/2.

A letra D está incorreta. Ligando o vértice superior aos dois vértices da base, o triângulo resultante tem base = lado e altura = lado, o que dá metade da área do quadrado. (Mesmo que o ponto no topo não fosse exatamente o meio, traçar a perpendicular à base mostra dois pares de triângulos iguais, preservando a metade.)

A letra E está correta. O segmento liga um vértice a um ponto do lado oposto que não é vértice; o triângulo claro que sobra na ponta tem menos de 1/2 (mesma altura e base menor), logo a região sombreada é maior que 1/2 e, portanto, a maior entre todas.

O gabarito é a letra E.

Questão Q1181