O múltiplo irado de 9 deve ser escrito apenas com 0 e 1, ser divisível por 9 e ser o menor número que atende às duas condições. Pelos exemplos da definição, procuramos um múltiplo positivo; o zero não entra na busca.

O bilhete fornece a ferramenta principal: um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.

Agora observamos o que acontece numa escrita formada apenas por 0 e 1. Cada algarismo 1 acrescenta uma unidade à soma, enquanto cada algarismo 0 não acrescenta nada. Portanto, a soma dos algarismos é igual à quantidade de algarismos 1.

Por exemplo, em 10101 há três algarismos 1. Os dois zeros não alteram a soma, que vale 3.

$1+0+1+0+1=3$

Para que o número procurado seja divisível por 9, a quantidade de algarismos 1 precisa ser um múltiplo de 9: 9, 18, 27, .... Como o número é positivo e só usa 0 e 1, ele tem pelo menos um algarismo 1. Assim, a soma não pode ser zero.

A menor quantidade possível é, portanto, nove algarismos 1. Isso já mostra que precisamos de pelo menos nove algarismos no número: com até oito casas, não conseguimos escrever nove uns.

Para formar o menor número, usamos exatamente nove casas e colocamos um 1 em cada uma delas. Obtemos 111111111. Sua soma de algarismos é 9, então ele é divisível por 9.

$1+1+1+1+1+1+1+1+1=9$

Precisamos ainda justificar por que esse é o menor. Todo número positivo permitido com menos de nove algarismos tem entre um e oito uns; sua soma de algarismos fica entre 1 e 8 e não é divisível por 9. Se o número tem exatamente nove algarismos, precisa ter nove uns, portanto não há lugar para nenhum zero: só pode ser 111111111. Qualquer número com mais de nove algarismos é maior.

Colocar zeros entre os nove uns ou depois deles conserva a soma 9, mas aumenta a quantidade de algarismos e produz um número maior. Já trocar um dos nove uns por zero faria a soma cair para 8, e a divisibilidade por 9 seria perdida. Zeros à esquerda não criam um número diferente e não fazem parte da escrita usual.

O múltiplo irado de 9 é 111111111, formado por nove algarismos 1.

O gabarito é a letra D.

Questão Q14741