Não basta encontrar um divisor de 1110. Por exemplo, 1110 é múltiplo de 3, mas o múltiplo irado de 3 é 111, como diz o próprio enunciado. Existe um múltiplo menor de 3 escrito apenas com 0 e 1, então 3 não serve.

Começamos examinando os números naturais positivos em ordem crescente. O zero não pode ser a origem, pois seus múltiplos são todos zero; nenhum deles é 1110.

Para excluir um número, basta encontrar um múltiplo positivo dele, escrito apenas com 0 e 1, que seja menor que 1110. Não precisamos descobrir seu múltiplo irado exato: a existência de um múltiplo permitido menor já impede que 1110 seja o menor.

Os números 1, 2, 3, 4 e 5 podem ser excluídos dessa maneira. Para 1, temos o próprio 1; para 2 e 5, temos 10; para 3, temos 111; e, para 4, temos 100. Todas essas escritas usam apenas 0 e 1 e são menores que 1110.

O quadro mostra um múltiplo permitido menor para cada número de origem. Cada linha é um motivo suficiente para descartar aquele candidato.

O próximo candidato é 6. Precisamos verificar se seu múltiplo irado é exatamente 1110.

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Isso vale porque \(6=2\times3\) e esses fatores não têm divisor comum maior que 1.

Para ser divisível por 2, o número deve ser par. Como só podemos usar 0 e 1, o último algarismo precisa ser 0.

Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve ser divisível por 3. Numa escrita formada apenas por 0 e 1, essa soma é igual à quantidade de uns. Como buscamos um número positivo, precisamos de pelo menos um 1; a menor quantidade que é múltipla de 3 é três uns.

Juntando as condições, precisamos de três algarismos 1 e de um zero na última casa. São pelo menos quatro algarismos. Com exatamente quatro casas, a única possibilidade é 1110.

O gabarito é a letra D.

Questão Q14746