Os possíveis valores de B precisam atender à condição de que o produto seja múltiplo de 36. Vamos primeiro restringir os candidatos e depois conferir que cada um dos restantes realmente pode ocorrer.

O número 2A5 termina em 5 e, portanto, é ímpar, qualquer que seja A. Como todo múltiplo de 36 é par, o outro fator, 13B, precisa ser par. Assim, B só pode estar entre 0, 2, 4, 6 e 8.

Ser par ainda não basta. Como 36 = 4 × 9, todo múltiplo de 36 também é múltiplo de 4. Para o produto ter esse fator 4, são necessários dois fatores 2. O número ímpar 2A5 não fornece nenhum deles; por isso, ambos precisam estar no fator 13B. Concluímos que 13B deve ser divisível por 4.

Um número é divisível por 4 quando o número formado por seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Isso acontece porque a parte das centenas é sempre múltipla de 100, e 100 é múltiplo de 4. No número 13B, precisamos olhar para o final 3B, que representa 30 + B.

O quadro verifica os cinco candidatos pares. Entre os finais 30, 32, 34, 36 e 38, apenas 32 e 36 são múltiplos de 4. Portanto, só restam B = 2 ou B = 6.

Até aqui, mostramos que nenhum outro algarismo pode servir. Falta conferir que 2 e 6 realmente são possíveis na condição completa do enunciado, que exige um múltiplo de 36, não apenas de 4.

Para isso, podemos escolher A = 2 nos dois casos. Essa é uma escolha para construir exemplos; não estamos afirmando que A tenha sempre esse valor. O primeiro fator passa a ser 225, que é múltiplo de 9, pois 2 + 2 + 5 = 9.

Se B = 2, o segundo fator é 132, múltiplo de 4. Se B = 6, ele é 136, também múltiplo de 4. Em ambos os casos, o produto reúne um fator 9 vindo de 225 e um fator 4 vindo do segundo número, sendo múltiplo de 36.

As contas confirmam:

225 × 132 = 29700 = 36 × 825

225 × 136 = 30600 = 36 × 850

Assim, 2 e 6 são todos os valores possíveis de B. Não basta dizer que B é par, e também não basta parar no teste por 4: a construção dos exemplos confirma a condição completa por 36.

A letra A é o gabarito da questão.

Questão Q14755