Precisamos encontrar o primeiro par de inteiros consecutivos cujas somas dos algarismos sejam divisíveis por 5. Dois inteiros consecutivos diferem por 1; não basta que estejam um ao lado do outro na lista. Por exemplo, 5 e 14 são os dois primeiros números escritos, mas não são inteiros consecutivos.

A condição é sobre a soma dos algarismos, e não sobre o próprio número. O número 14 entra na lista porque 1 + 4 = 5, embora 14 não seja divisível por 5.

Vamos examinar o que acontece com essa soma quando acrescentamos 1 a um número.

Se o número não termina em 9, somente o algarismo das unidades aumenta em 1. Por exemplo, de 24 para 25, a soma dos algarismos passa de 6 para 7. Duas somas que diferem por 1 não podem ser ambas múltiplas de 5, pois a diferença entre dois múltiplos de 5 também é múltipla de 5.

Quando o número termina em 9, ocorre um transporte na adição: o 9 vira 0 e acrescentamos uma unidade à casa seguinte. Se houver vários noves seguidos no final, todos eles viram zeros, até que um algarismo anterior aumente em 1. Se o número for formado só por noves, aparece um novo 1 à esquerda.

Cada 9 que vira 0 retira 9 da soma dos algarismos. Ao mesmo tempo, o algarismo anterior que aumenta, ou o novo 1 que aparece, acrescenta 1 à soma. Por exemplo, de 199 para 200, os dois noves viram zeros e o 1 vira 2: retiramos 18 e acrescentamos 1. A soma diminui em 17.

Chamando de k a quantidade de noves seguidos no final do número, temos:

$\text{nova soma} - \text{soma anterior} = 1 - 9k.$

A tabela mostra essa mudança para zero, um, dois, três e quatro noves finais. Os números da segunda coluna são exemplos da transformação, não pares já aceitos na lista.

As mudanças +1, −8, −17 e −26 não são múltiplas de 5. Por isso, um par aceito não pode começar por um número com zero, um, dois ou três noves seguidos no final. Com quatro noves, a mudança é −35, que é múltipla de 5.

Isso ainda não garante que os dois números entrem na lista: precisamos verificar a soma dos algarismos. Por exemplo, 19.999 e 20.000 têm somas 37 e 2; a diferença é −35, mas nenhuma dessas somas é divisível por 5.

Vamos procurar, em ordem crescente, entre os números que terminam em quatro noves. O menor é 9.999, cuja soma é 36. Ao colocar 1, 2, 3 ou 4 à sua esquerda, obtemos somas 37, 38, 39 e 40. A tabela confere cada candidato e seu sucessor.

O primeiro candidato que serve é 49.999, com soma 40. Seu sucessor é 50.000, com soma 5. As duas somas são divisíveis por 5.

Ainda precisamos garantir que nenhum número com mais noves finais produza um par anterior. Um número com cinco ou mais noves seguidos no final é pelo menos 99.999, que já é maior que 49.999. Assim, antes de 49.999, só precisamos considerar os casos com até quatro noves finais: os casos com menos de quatro foram excluídos pela mudança na soma, e os candidatos menores com quatro foram conferidos na tabela. Isso prova que encontramos o primeiro par.

Ao acrescentar 1 a 49.999, os quatro noves viram zeros e o 4 vira 5.

Juliana encerra a lista ao escrever 50.000. Portanto, o penúltimo número é 49.999, e a soma pedida é:

$4+9+9+9+9=40$

O ponto central é acompanhar a soma dos algarismos durante o transporte da adição. O número aumenta em 1, mas sua soma de algarismos pode diminuir bastante. Para encontrar o primeiro par, além de mostrar um par que funciona, precisamos excluir todos os anteriores.

O gabarito é a letra D.

Questão Q14771