Vamos chamar de $n$ a quantidade inicial de bolinhas. A caixa comporta no máximo 100 bolinhas, mas isso não significa que ela estava cheia. Portanto, $n$ é um inteiro positivo e $0<n\leq100$.

Em cada etapa, fazemos duas operações: primeiro multiplicamos a fração indicada pela quantidade que o menino encontra, para descobrir quanto ele retira; depois subtraímos essa retirada da quantidade anterior, para descobrir quanto sobra.

1. Artur: encontra $n$ bolinhas.

Ele retira a metade da quantidade inicial. Para calcular a metade de uma quantidade, multiplicamos essa quantidade por $\frac12$:

$\text{Retira:}\qquad \frac12\times n=\frac n2.$

Para determinar o restante, subtraímos de $n$ a quantidade retirada:

$\text{Sobra:}\qquad n-\frac n2=\frac{2n}{2}-\frac n2=\frac n2.$

Assim, Bernardo encontra $\frac n2$ bolinhas na caixa.

2. Bernardo: encontra $\frac n2$ bolinhas.

Ele retira um terço do que Artur deixou. Por isso, multiplicamos $\frac13$ por $\frac n2$. Na multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

$\text{Retira:}\qquad \frac13\times\frac n2 =\frac{1\times n}{3\times2}=\frac n6.$

Esse resultado é a quantidade que Bernardo retira. Para saber quanto fica na caixa, subtraímos $\frac n6$ da quantidade que havia antes. Escrevemos as frações com o mesmo denominador para efetuar a subtração:

$\text{Sobra:}\qquad \frac n2-\frac n6 =\frac{3n}{6}-\frac n6=\frac{2n}{6}=\frac n3.$

Logo, Carlos encontra $\frac n3$ bolinhas.

3. Carlos: encontra $\frac n3$ bolinhas.

Ele retira um quarto dessa quantidade:

$\text{Retira:}\qquad \frac14\times\frac n3 =\frac{1\times n}{4\times3}=\frac n{12}.$

Subtraindo a retirada da quantidade que havia na caixa:

$\text{Sobra:}\qquad \frac n3-\frac n{12} =\frac{4n}{12}-\frac n{12}=\frac{3n}{12}=\frac n4.$

Portanto, Danilo encontra $\frac n4$ bolinhas.

4. Danilo: encontra $\frac n4$ bolinhas.

Ele retira um quinto dessa quantidade:

$\text{Retira:}\qquad \frac15\times\frac n4 =\frac{1\times n}{5\times4}=\frac n{20}.$

A quantidade final é a diferença entre o que Danilo encontrou e o que retirou:

$\text{Sobra:}\qquad \frac n4-\frac n{20} =\frac{5n}{20}-\frac n{20}=\frac{4n}{20}=\frac n5.$

Depois de todas as retiradas, sobra a quinta parte da quantidade inicial. Ainda precisamos determinar $n$.

5. Quantas bolinhas havia no início?

As quantidades que sobraram em cada etapa, $\frac n2$, $\frac n3$, $\frac n4$ e $\frac n5$, são números inteiros. Portanto, $n$ é divisível por 2, 3, 4 e 5.

$\operatorname{MMC}(2,3,4,5)=2^2\times3\times5=60.$

O fator 4 já inclui o fator 2 necessário. Os múltiplos positivos de 60 são 60, 120, 180, … Como a caixa comporta no máximo 100 bolinhas, a única quantidade inicial possível é $n=60$.

Logo, a quantidade final é:

$\frac n5=\frac{60}{5}=12.$

Resposta: D) 12 bolinhas.

Questão Q14775