O primeiro cuidado é interpretar AB, BA e BB. Essas escritas representam números de dois algarismos. Em AB, por exemplo, A ocupa a casa das dezenas e B ocupa a casa das unidades.

Usaremos uma barra sobre as letras para distinguir essa escrita decimal de uma multiplicação.

Como cada dezena vale dez unidades, o número AB vale:

$\overline{AB}=10A+B$

No número BA, as posições se invertem: B representa as dezenas e A representa as unidades.

$\overline{BA}=10B+A$

No número BB, temos B dezenas e B unidades:

$\overline{BB}=10B+B=11B$

A primeira condição informa:

$\overline{AB}+\overline{BA}=121$

Substituímos cada número por seu valor em dezenas e unidades:

$(10A+B)+(10B+A)=121$

Agora juntamos os termos com A e os termos com B. Dez vezes A mais uma vez A são onze vezes A. O mesmo acontece com B:

$11A+11B=121$

Colocamos o fator 11 em evidência:

$11(A+B)=121$

Dividindo os dois lados por 11:

$A+B=121\div11=11$

Portanto, os dois algarismos somam 11.

A segunda condição informa:

$\overline{AB}-\overline{BB}=10$

Substituindo os valores posicionais:

$(10A+B)-(10B+B)=10$

Precisamos subtrair todo o segundo número: suas dezenas e suas unidades. Por isso:

$10A+B-10B-B=10$

As B unidades do primeiro número são canceladas pela retirada das B unidades do segundo. Restam:

$10A-10B=10$

Dividimos todos os termos por 10:

$A-B=1$

Assim, A é uma unidade maior que B. Já conhecemos a soma dos algarismos e a diferença entre eles.

Somamos os lados correspondentes das duas igualdades. Isso é válido porque estamos acrescentando quantidades iguais dos dois lados:

$(A+B)+(A-B)=11+1$

O termo B e o termo menos B se cancelam. Restam duas vezes A:

$2A=12$

Dividindo por 2:

$A=12\div2=6$

O gabarito é a letra A.

Questão Q14776