O alinhamento dos asteriscos faz parte das informações da questão. Os dois fatores têm dois algarismos, mas seus produtos parciais têm quantidades diferentes de algarismos: a primeira linha tem três asteriscos e a segunda tem dois.

Na multiplicação armada, a primeira linha é o produto do número de cima pelo algarismo das unidades do número de baixo. A segunda linha é o produto do número de cima pelo algarismo das dezenas. Essa segunda linha fica deslocada uma casa para a esquerda porque estamos multiplicando por dezenas.

Assim, os dois asteriscos da segunda linha representam um número de dois algarismos, mas sua contribuição para a soma é dez vezes esse número. Por exemplo, escrever 37 nessa posição significa acrescentar 370. Esse exemplo apenas explica o alinhamento; ainda precisamos descobrir os algarismos da conta.

Vamos chamar de N o número de cima, de a o algarismo das dezenas do número de baixo e de b o das unidades. Então, a primeira linha vale \(N\times b\), e o número de dois algarismos escrito na segunda linha é \(N\times a\).

Como esse segundo produto tem dois algarismos, ele é no máximo 99. Depois do deslocamento, sua contribuição é no máximo 990. Para a soma chegar a 1.656, a primeira linha precisa valer pelo menos:

$1656-990=666.$

Portanto, \(N\times b\) é pelo menos 666. Como b é um algarismo, ele não passa de 9. Se N fosse 73 ou menos, teríamos, no máximo:

$73\times9=657,$

que não chega a 666. Por isso, N é pelo menos 74.

Agora usamos essa informação na segunda linha. Se a fosse 2 ou mais, o produto \(N\times a\) seria pelo menos:

$74\times2=148.$

Isso teria três algarismos, contrariando os dois asteriscos da figura. Como a inicia um número de dois algarismos, ele também não pode ser zero. Portanto, a = 1: o número de baixo está entre 10 e 19.

Podemos restringi-lo ainda mais. O número de cima tem dois algarismos, portanto é no máximo 99. Se o número de baixo fosse 16 ou menos, o produto seria no máximo:

$99\times16=1584,$

que é menor que 1.656. Restam somente 17, 18 e 19 para o número de baixo.

Vamos dividir 1.656 por cada um desses três candidatos. Precisamos obter um número inteiro de dois algarismos, sem resto. A tabela mostra a conferência completa.

Somente 18 divide 1.656 sem deixar resto, produzindo o outro fator, 92. Mas ainda precisamos conferir se a multiplicação \(92\times18\) respeita as duas linhas de asteriscos.

Multiplicando pelas unidades, obtemos:

$92\times8=736.$

São três algarismos, como na primeira linha. Multiplicando pelo algarismo das dezenas, obtemos:

$92\times1=92.$

São dois algarismos, como na segunda linha. Como o 1 ocupa a casa das dezenas no número 18, essa linha entra na soma como 920. Assim:

$736+920=1656.$

O gabarito é a letra C.

Questão Q14778