A estratégia é começar pela coluna das unidades, pois ela permite eliminar possibilidades antes de descobrir o número inteiro.

Há seis posições na conta: as cinco letras e o 6 já escrito. Como os seis algarismos indicados devem aparecer, cada um ocupa uma dessas posições. O 6 já está usado como multiplicador; portanto, as letras recebem os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repetição.

As letras juntas representam a escrita de um número: OB é um número de dois algarismos, com O nas dezenas e B nas unidades.

Na coluna das unidades, multiplicamos B por 6. O algarismo das unidades desse produto deve ser P. Vamos examinar os valores disponíveis:

- Se B fosse 2, teríamos $6\times2=12$. Portanto, P também seria 2. Isso é impossível, pois letras diferentes representam algarismos diferentes.

- Se B fosse 3, teríamos $6\times3=18$. Nesse caso, P seria 8, que não está entre os algarismos permitidos.

- Se B fosse 4, teríamos $6\times4=24$. Portanto, P também seria 4, repetindo um algarismo.

- Se B fosse 5, teríamos $6\times5=30$. Nesse caso, P seria 0, que também não está disponível.

Resta somente B igual a 7. Como $6\times7=42$, o algarismo das unidades é 2. Assim:

$$B=7\qquad\text{e}\qquad P=2$$

Ao multiplicar as 7 unidades por 6, obtemos 42 unidades. Essa quantidade corresponde a 4 dezenas e 2 unidades:

$$6\times7=42=4\times10+2$$

Escrevemos o 2 na coluna das unidades e transportamos as 4 dezenas para a próxima coluna.

Agora multiplicamos as O dezenas por 6 e acrescentamos as 4 dezenas transportadas. A quantidade de dezenas obtida é:

$$6O+4$$

O algarismo das unidades dessa quantidade será E, pois fica na coluna das dezenas da conta original. O que completar centenas será representado por M.

O produto de 6 por um inteiro é par. Somando 4, continuamos com um número par. Portanto, E precisa ser um algarismo par.

Entre os algarismos permitidos, os pares são 2, 4 e 6. O 2 já representa P, e o 6 já aparece como multiplicador. Como não podemos repetir algarismos, concluímos:

$$E=4$$

Agora sobraram apenas 3 e 5 para as letras O e M.

Se O fosse 3, o cálculo das dezenas seria:

$$6\times3+4=22$$

Isso colocaria 2 na posição de E, contrariando o valor 4 que acabamos de determinar. Portanto, O não pode ser 3.

Com O igual a 5, temos:

$$6\times5+4=34$$

São 34 dezenas, equivalentes a 3 centenas e 4 dezenas. Portanto, M é 3 e E é 4, como necessário. A conta completa fica:

$$\begin{array}{rrr} & \overset{4}{5} & 7 \\ \times & & 6 \\ \hline 3 & 4 & 2 \end{array}$$

O pequeno 4 acima do 5 indica as quatro dezenas transportadas.

O produto está correto:

$$57\times6=342$$

As letras representam:

$$O=5,\quad B=7,\quad M=3,\quad E=4,\quad P=2$$

Os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7 aparecem uma única vez nas seis posições da conta.

Como a questão pede o algarismo representado pela letra O, a resposta é 5.

O gabarito é a letra D.

Questão Q15013