O maior produto precisa respeitar a condição de ser múltiplo de 36. Por isso, primeiro determinamos quais pares de algarismos A e B são permitidos; depois comparamos os produtos.

Como 36 = 4 × 9, precisamos de um produto divisível por 4 e por 9. Essas duas condições juntas garantem a divisibilidade por 36, pois 4 e 9 não têm divisor comum maior que 1.

O primeiro fator, 2A5, é ímpar. Ele não fornece nenhum fator 2; portanto, os dois fatores 2 necessários à divisibilidade por 4 precisam estar em 13B. Assim, 13B deve ser múltiplo de 4. Entre 130 e 139, apenas 132 e 136 são múltiplos de 4. Logo, B só pode ser 2 ou 6.

Agora verificamos a divisibilidade por 9 em cada um desses casos.

Quando B = 2, o segundo fator é 132. Temos 132 = 3 × 44: ele fornece um fator 3, mas não dois, pois 44 não é divisível por 3. Para o produto ser múltiplo de 9 = 3 × 3, o primeiro fator precisa fornecer pelo menos mais um fator 3. Portanto, 2A5 deve ser divisível por 3.

A soma dos algarismos de 2A5 é 2 + A + 5 = A + 7. Como A varia de 0 a 9, essa soma varia de 7 a 16. Os múltiplos de 3 nesse intervalo são 9, 12 e 15. Assim, A pode ser 2, 5 ou 8.

Quando B = 6, o segundo fator é 136. A soma de seus algarismos é 10, portanto ele não é divisível por 3. Nesse caso, os dois fatores 3 necessários ao produto precisam vir de 2A5. Logo, 2A5 deve ser divisível por 9.

Sua soma de algarismos, A + 7, precisa ser múltipla de 9. Entre 7 e 16, o único múltiplo de 9 é 9. Portanto, A = 2.

Encontramos todos os pares possíveis: (A, B) = (2, 2), (5, 2), (8, 2) e (2, 6). Em cada um deles, o produto é divisível por 4 e por 9, portanto por 36. Agora calculamos e comparamos os quatro resultados.

O maior valor é obtido com A = 8 e B = 2, isto é, com os números 285 e 132:

285 × 132 = 37620

Conferimos a condição do enunciado:

37620 = 36 × 1045

Como os quatro pares listados esgotam as possibilidades, nenhum produto permitido pode ser maior que 37620. E a escolha A = 8, B = 2 atinge esse valor, comprovando o máximo.

É importante manter os casos separados: A = 8 funciona com B = 2, mas não com B = 6. Combinar 285 e 136 produz 38760, cuja soma dos algarismos é 24. Esse número não é divisível por 9 e, portanto, não é múltiplo de 36.

O maior produto possível é 37620.

O gabarito é a letra D.

Questão Q15016