Questão Q12964

Ano: 2015Instituição: OBMEPClasse: Nível 1Matéria: MatemáticaAssunto: Grandezas e Medidas, Aritmética

(Adaptada) A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo equilátero de altura 10, como na figura.

O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões.

Julgue cada afirmação sobre os pontos da malha associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões como verdadeira ou falsa.

Exigir que o aluno tire zero em exatamente quatro questões é o mesmo que exigir que o ponto dele fique a distância 4 do lado zero, e todos esses pontos ficam sobre uma mesma reta paralela ao lado zero.

Fixadas as quatro questões de nota zero, sobram 6 questões para repartir entre nota meio e nota um, e cada repartição diferente dá um ponto diferente da malha.

São 7 os pontos da malha associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões.

Um aluno que tira zero em exatamente quatro questões precisa ter pelo menos uma questão de nota meio, porque as 6 questões restantes não podem ser todas de nota um.

Esses alunos têm todos notas diferentes umas das outras, e a menor delas é 3,0.

Fora dessa reta existem outros pontos da malha associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões.