Para resolver a questão, precisamos pensar no conceito de quadrado perfeito. Na fatoração prima de um quadrado perfeito, cada número primo aparece uma quantidade par de vezes, pois os fatores podem ser agrupados em pares iguais.

Primeiro, contamos as aparições do fator 2 nos números de 1 a 10. Elas vêm de 2, 4, 6, 8 e 10:

$1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8$

Em seguida, contamos as aparições dos outros primos:

3 aparece $1 + 1 + 2 = 4$ vezes
5 aparece $1 + 1 = 2$ vezes
7 aparece 1 vez

Assim, escrevemos o produto completo:

$1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 9 \times 10 = 2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7$

Os expoentes 8, 4 e 2 são pares. O expoente 1 do fator 7 é o único que fica sem par.

Agora, eliminamos o número 7. Essa única retirada remove o fator primo sem par e mantém pares todas as aparições de 2, 3 e 5:

$2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} = \left(2^{4} \times 3^{2} \times 5\right)^{2}$

Antes de fechar, respondemos o que foi perguntado. A pergunta não pede qual fator eliminamos, que é 7, nem qual é a raiz do quadrado obtido, que é 720. Ela pede a quantidade mínima de fatores eliminados. Eliminamos apenas um fator, o 7.

Eliminar também o fator 1 produziria o mesmo resultado, mas levaria a duas eliminações. Como a questão pede o mínimo, essa retirada extra não serve.

O gabarito é a letra B.

Questão Q12093