Os números de 1 a 49 estão dispostos em um padrão espiral em uma grade quadrada, começando pelo centro. Os primeiros números já foram inseridos na grade abaixo. Considere os quatro números que irão aparecer nos quadrados sombreados, na mesma diagonal que o número 7. Quantos desses quatro números são primos?

Vamos contar os da diagonal do 7 e decidir quantos são primos. A espiral é 7×7 (vai de 1 a 49) e cresce em “anéis” 1×1, 3×3, 5×5, 7×7. Os quatro quadrados sombreados estão na mesma diagonal do 7, um em cada anel. Eles acabam sendo 19, 23, 39 e 47; entre eles, 19, 23 e 47 são primos, enquanto 39 = 3×13 não é. Então a resposta é 3.

Três jeitos de ver isso:

Solução 1 — preencher tudo.
Complete rapidamente a espiral até 49 (7×7). Lendo na diagonal do 7 você encontra 19, 23, 39, 47. Teste de primalidade direto: 19 e 23 são primos; 39 é múltiplo de 3; 47 é primo.

Solução 2 — usar quadrados perfeitos como marcos.
Os cantos dos anéis são quadrados perfeitos: no 3×3 o canto maior é 9, no 5×5 são 25, 21, 17, 13; no 7×7 são 49, 43, 37, 31. A diagonal do 7 passa sempre duas casas depois do canto mais próximo quando você percorre a borda do anel:
– No anel 5×5, dois passos após 21 e após 25 dão 19 e 23.
– No anel 7×7, dois passos após 43 e após 49 dão 39 e 47.

Com isso, você acha os mesmos quatro números sem completar a grade inteira.

Nos dois caminhos, concluímos: três dos quatro são primos.

O gabarito é a letra D.

Questão Q63