Esta questão nos convida a refletir sobre a estrutura dos números inteiros e seus divisores, com um foco especial nos divisores dos divisores — ou seja, trata-se de um exercício de teoria dos números, que exige olhar com cuidado para as relações entre fatores primos e o total de divisores.

Queremos saber quantos dos divisores positivos de 2020 têm mais de 3 divisores. Isso significa que a questão está dividida em duas etapas: primeiro, encontrar todos os divisores positivos de 2020; em seguida, entre eles, contar quantos têm mais de 3 divisores.

Começamos com a fatoração de 2020:

$2^2 \cdot 5 \cdot 101$

Para encontrar o número total de divisores positivos de 2020, usamos a regra dos expoentes:

$\cdot 2 \cdot 2 = 12 \text{ divisores}$

Portanto, 2020 possui 12 divisores inteiros positivos.

Agora, queremos contar quantos desses 12 divisores têm mais de 3 divisores.

Aqui, é essencial compreender que cada divisor de 2020 é, por si só, um número inteiro positivo e, portanto, pode ter 1, 2, 3 ou mais divisores próprios. Vamos analisar divisor por divisor.

Para isso, listamos todos os 12 divisores positivos de 2020 (em ordem crescente):

Agora analisamos, para cada um desses, quantos divisores próprios ele possui (sem listar todos, mas usando conhecimento sobre composição dos números):

– 1: tem apenas 1 divisor → não conta
– 2, 4, 5, 101: são primos ou potência de primo → têm 2 ou 3 divisores → não contam
– 10: divisores = 1, 2, 5, 10 → 4 divisores → conta
– 20: divisores = 1, 2, 4, 5, 10, 20 → 6 → conta
– 202: divisores = 1, 2, 101, 202 → 4 → conta
– 404: tem mais de 4 divisores → conta
– 505: divisores = 1, 5, 101, 505 → 4 → conta
– 1010: claramente tem mais de 4 divisores → conta
– 2020: também → conta

Vamos contabilizar apenas os que têm mais de 3 divisores:

✔️ 10
✔️ 20
✔️ 202
✔️ 404
✔️ 505
✔️ 1010
✔️ 2020

Total: 7 divisores

Trata-se de um belo exemplo de como a compreensão da estrutura multiplicativa dos números naturais pode ser mobilizada para resolver questões envolvendo divisores compostos e suas propriedades — um conteúdo fundamental tanto na matemática escolar quanto em provas de raciocínio lógico.

O gabarito é a letra B.

Questão Q738