O ponto de partida é interpretar a expressão do lado esquerdo da igualdade. A expressão é uma longa soma onde a parcela 2n se repete várias vezes. O enunciado nos informa que o número de repetições (ou parcelas) é 2m+1. A regra matemática para uma soma de termos idênticos é que ela pode ser convertida em uma multiplicação.

$\underbrace{2^n + 2^n + \dots + 2^n}_{2m+1 \text{ vezes}} = (2m + 1) \times 2^n$

Substituindo a soma pela multiplicação, a equação original se torna:

(2m+1)⋅2ⁿ=15360

A estratégia para resolver esta equação é analisar a natureza de cada fator no lado esquerdo. O termo 2ⁿ é uma potência de 2, sendo a parte "par" da decomposição do número. O termo (2m+1), por sua vez, é sempre um número ímpar, pois 2m é garantidamente par para qualquer inteiro m. Portanto, precisamos decompor o número 15360 em seus fatores primos para separá-lo em uma parte ímpar e uma parte que seja uma potência de 2.

Vamos realizar a fatoração de 15360. Começamos separando os fatores mais óbvios e depois continuamos dividindo por 2 até não ser mais possível:

15360=1536×10

15360=1536×(2×5)

Agora, fatorando o 1536:

$1536 = 2 \times 768 = 2^2 \times 384 = 2^3 \times 192 = 2^4 \times 96 = 2^5 \times 48 = 2^6 \times 24 = 2^7 \times 12 = 2^8 \times 6 = 2^9 \times 3$

Substituindo de volta na equação principal:

$15360 = (2^9 \times 3) \times (2 \times 5)$

Agrupando os termos semelhantes, somamos os expoentes da base 2 e multiplicamos os fatores ímpares:

$15360 = 2^{9+1} \times (3 \times 5)$

$15360 = 2^{10} \times 15$

Agora que decompomos o número 15360, podemos comparar os dois lados da igualdade:

$(2m + 1) \cdot 2^n = 15 \cdot 2^{10}$

Pela unicidade da fatoração, a parte ímpar de um lado deve ser igual à parte ímpar do outro, e o mesmo vale para a parte que é potência de 2. Isso nos dá duas equações separadas:

2m+1=15

$2^n = 2^{10}$

Resolvendo a primeira equação para m:

2m=15−1

2m=14

m=7

Resolvendo a segunda equação para n, concluímos diretamente que:

n=10

O problema pede o valor da soma m+n. Com os valores encontrados, basta realizar a soma final:

m+n=7+10

m+n=17

O gabarito é a letra E.

Questão Q2104