Solução 1:

Se a é congruente a b módulo 7, isso significa que a − b = 7 × j para algum número inteiro j.

Se b é congruente a c módulo 7, isso significa que b − c = 7 × k para algum número inteiro k.

Somando essas duas equações, temos:

(a − b) + (b − c) = 7 × j + 7 × k

Simplificando o lado esquerdo e colocando 7 em evidência no lado direito, obtemos:

a − c = 7 × (j + k)

Como j + k é um número inteiro, isso mostra que a − c é múltiplo de 7. Logo, a é congruente a c módulo 7.

Solução 2:

Se a é congruente a b módulo 7, então a e b estão na mesma coluna de uma tabela com 7 colunas (isso significa que a e b têm o mesmo resto na divisão por 7).

Da mesma forma, se b é congruente a c módulo 7, então b e c também estão na mesma coluna.

Assim, a, b e c estão todos na mesma coluna, e portanto a é congruente a c módulo 7.

Nada de especial sobre o número 7 foi usado na solução — isso vale para qualquer módulo.

Resultado geral:

Se a é congruente a b módulo m, e b é congruente a c módulo m, então a é congruente a c módulo m.

Questão Q1265