Queremos o resto da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) quando dividida por 4. Ao dividir cada número por 4, basta guardar os restos:

1 ≡ 1 (mod 4)
2 ≡ 2 (mod 4)
3 ≡ 3 (mod 4)
4 ≡ 0 (mod 4)
5 ≡ 1 (mod 4)
6 ≡ 2 (mod 4)
7 ≡ 3 (mod 4)
8 ≡ 0 (mod 4)
9 ≡ 1 (mod 4)
10 ≡ 2 (mod 4)
11 ≡ 3 (mod 4)
12 ≡ 0 (mod 4).

Assim a soma original é congruente a:

1 + 2 + 3 + 0 + 1 + 2 + 3 + 0 + 1 + 2 + 3 + 0 (mod 4).

Perceba que temos três blocos idênticos de (1 + 2 + 3 + 0):

Primeiro bloco: 1, 2, 3, 0
Segundo bloco: 1, 2, 3, 0
Terceiro bloco: 1, 2, 3, 0

Então podemos reescrever como:

3 × (1 + 2 + 3 + 0).

Agora somamos dentro do parêntese:

1 + 2 + 3 + 0 = 6.

Multiplicando pelos 3 blocos:

3 × 6 = 18.

Calculando o resto desse total:

18 ÷ 4 = 4 sobra 2.

Portanto,18 ≡ 2 (mod 4).

O resto é 2.

Questão Q1277