Para começar, lembramos a regra-chave da aritmética modular que aparece no exemplo: ao formar montes de tamanho fixo n, o que realmente importa é o resto da quantidade total quando dividida por n. Em particular, podemos simplificar cada parcela tomando o seu resto módulo 12 e, depois, somar esses restos; o resto final indica quantas bolinhas “sobram” e, portanto, quantas precisam ser retiradas para que todos os montes fiquem completos de 12.

Aplicando a ideia, reduzimos cada quantidade módulo 12: 287 ≡ 11 (mod 12) porque 287 = 23×12 + 11; 154 ≡ 10 (mod 12) porque 154 = 12×12 + 10; 119 ≡ 11 (mod 12) porque 119 = 9×12 + 11. Somando os restos, obtemos 11 + 10 + 11 = 32, e então reduzimos de novo módulo 12: 32 ≡ 8 (mod 12). Esse 8 é exatamente a “sobra” que não forma um monte completo.

Interpretando o resultado, são 8 bolinhas fora dos montes de 12 que impedem o início do jogo com todos os montes completos; logo, é preciso retirar 8. Conferindo pela soma total, 287 + 154 + 119 = 560, e 560 ≡ 8 (mod 12); ao tirar 8, ficamos com 552 = 46×12, todos os montes completos.

O gabarito é a letra E.

Questão Q1288