O fatorial de 100 (100!) é o produto de todos os inteiros de 1 até 100:

100! = 1 × 2 × 3 × ... × 100

Logo, esse número é imensamente grande. Mas como estamos apenas interessados no resto da divisão por 4, não precisamos calcular o valor total. Podemos usar uma observação simples e poderosa da aritmética modular:

Se algum fator do produto for divisível por 4, então o produto inteiro também será divisível por 4, e o resto será 0.

No caso de 100!, ele inclui o número 4 (e vários múltiplos de 4, como 8, 12, 16, ..., até 100). Ou seja, há muitos fatores divisíveis por 4 dentro do produto.

Isso significa que:

100! ≡ 0 (mod 4)

A solução mostrada no anexo segue esse raciocínio de forma simbólica:

100! = 100 × 99! ≡ 0 × 99! ≡ 0 (mod 4)

O gabarito é a letra A.

Questão Q1296