Queremos descobrir qual é o resto da divisão de 24⁵⁰ − 15⁵⁰ por 13. Embora essa expressão envolva potências enormes, o problema pode ser resolvido de forma muito simples se usarmos a aritmética modular — mais especificamente, a ideia de reduzir os números módulo 13 antes de elevar às potências.

Começamos observando que 24 ≡ −2 (mod 13). Isso porque 24 é apenas 2 unidades acima de 26, que é múltiplo de 13. Já 15 ≡ 2 (mod 13), pois 15 − 13 = 2. Com isso, podemos reescrever a expressão original substituindo as bases pelas suas equivalentes módulo 13. O que antes era 24⁵⁰ − 15⁵⁰ agora se torna (−2)⁵⁰ − 2⁵⁰ (mod 13).

Aqui entra um detalhe importante: como o expoente 50 é par, a potência de −2 será positiva. Em outras palavras, (−2)⁵⁰ = 2⁵⁰, já que o sinal negativo "desaparece" quando elevado a um número par. Isso significa que estamos simplesmente subtraindo um número de si mesmo: 2⁵⁰ − 2⁵⁰, o que dá zero.

Portanto, o resultado final é que 24⁵⁰ − 15⁵⁰ deixa resto 0 na divisão por 13, ou seja:

24⁵⁰ − 15⁵⁰ ≡ 0 (mod 13).

O gabarito é a letra E.

Questão Q1298