Neste problema, queremos calcular o valor de 4¹⁸ × 19⁸⁰ módulo 9, ou seja, descobrir qual é o resto da divisão desse produto por 9. Como os expoentes são grandes, a melhor abordagem é usar aritmética modular para simplificar os cálculos.

Começamos analisando a base 4. A ideia é reescrever 4¹⁸ de forma que facilite a conta. Como 18 = 3 × 6, podemos escrever 4¹⁸ = (4³)⁶. Sabemos que 4³ = 64, então agora temos que calcular 64⁶ módulo 9. Mas 64 já é congruente a 1 módulo 9, pois 64 ÷ 9 dá resto 1. Assim, 64 ≡ 1 (mod 9), e logo 64⁶ ≡ 1⁶ ≡ 1 (mod 9). Portanto, 4¹⁸ ≡ 1 (mod 9).

Agora passamos para 19⁸⁰. Observamos que 19 também é congruente a 1 módulo 9, pois 19 − 18 = 1, e 18 é múltiplo de 9. Assim, 19 ≡ 1 (mod 9), e ao elevar isso à 80ª potência, temos 1⁸⁰ ≡ 1 (mod 9).

Como as duas potências foram reduzidas a 1 módulo 9, multiplicamos os resultados:

4¹⁸ × 19⁸⁰ ≡ 1 × 1 ≡ 1 (mod 9)

O gabarito é a letra B.

Questão Q1299