Queremos encontrar 3¹⁹ módulo 5, ou seja, o resto da divisão de 3 elevado à 19ª potência por 5. Em vez de fazer essa potência enorme diretamente, podemos usar um truque da aritmética modular: identificar padrões cíclicos nas potências de 3 módulo 5.

A solução começa com a observação de que 3⁴ = 81, e que 81 ≡ 1 (mod 5). Isso é muito útil, porque significa que toda vez que tivermos um múltiplo de 4 no expoente, o resultado será congruente a 1 módulo 5.

Então, reescrevemos a potência 3¹⁹ como:

3¹⁹ = 3^{(4×4 + 3)}= (3⁴)⁴ × 3³

Como 3⁴ ≡ 1 (mod 5), então:

(3⁴)⁴ ≡ 1⁴ ≡ 1 (mod 5)

Agora só falta calcular 3³ mod 5:

3³ = 27 ≡ 2 (mod 5)

Multiplicando os dois resultados:

1 × 2 ≡ 2 (mod 5)

O gabarito é a letra C.

Questão Q1302